初中、高中衔接课（第1课时）因式分解 学案（含答案）

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1、初中、高中衔接课第1课时因式分解学习目标1.理解提取公因式法、分组分解法.2.掌握十字相乘法.3.对于复杂的问题利用因式分解简化运算.知识点一常用的乘法公式(1)平方差公式：(ab)(ab)a2b2.(2)立方差公式：(ab)(a2abb2)a3b3.(3)立方和公式：(ab)(a2abb2)a3b3.(4)完全平方公式：(ab)2a22abb2.(5)三数和平方公式：(abc)2a2b2c22ab2ac2bc.(6)完全立方公式：(ab)3a33a2b3ab2b3.知识点二因式分解的常用方法(1)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，即运用

2、乘法公式(xa)(xb)x2(ab)xab的逆运算进行因式分解.(2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式的方法.(3)公式法：把乘法公式反过来用，把某些多项式因式分解的方法.(4)求根法：若关于x的方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1，x2，则二次三项式ax2bxc(a0)就可分解为a(xx1)(xx2).(5)试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式.如2x3x1，试根知x1为2x3x10的根，通过拆项，2x3x12x32x22x22xx1提取公因式后分解因式.1.a3b3(ab)(a2abb2).()

3、2.a22abb2c22ac2bc(abc)2.()3.a33a2b3ab2b3(ab)3.()4.多项式ax2bxc(a0)一定可以分解成a(xx1)(xx2)的形式.()突破一配方法因式分解例1把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x22x1；(2)x24xy4y2.解(1)原式(x1)22(x1)(x1).(2)原式x24xy4y28y2(x2y)28y2(x2y2y)(x2y2y).反思感悟这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.跟踪训练1分解因式x26x16.解x26x16x22x3323

4、216(x3)252(x35)(x35)(x8)(x2).突破二十字相乘法因式分解命题角度1形如x2(pq)xpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.x2(pq)xpqx2pxqxpqx(xp)q(xp)(xp)(xq).因此，x2(pq)xpq(xp)(xq)，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.我们也可以用一个图表，此方法叫做十字相乘法.例2把下列各式因式分解：(1)x23x2；(2)x24x12；(3)x2(ab)xyaby2；(4)xy1xy.解(1)如图1，

5、将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2).今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x用1表示(如图2所示).(2)由图3，得x24x12(x2)(x6).(3)由图4，得x2(ab)xyaby2(xay)(xby).(4)xy1xyxy(xy)1(x1)(y1)(如图5).反思感悟十字相乘法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项，其实质是乘法公式(xa)(xb)x2(ab)xab的逆运算.跟踪训练2把下列各

6、式因式分解：(1)x2xy6y2；(2)(x2x)28(x2x)12.解(1)x2xy6y2(x3y)(x2y).(2)(x2x)28(x2x)12(x2x6)(x2x2)(x3)(x2)(x2)(x1).命题角度2形如一般二次三项式ax2bxc型的因式分解我们知道，(a1xc1)(a2xc2)a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2.反过来，就得到：a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)我们发现，二次项系数 a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1，a2，c1，c2写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，如果它正好等于ax2bxc的

7、一次项系数b，那么ax2bxc就可以分解成(a1xc1)(a2xc2)，其中a1，c1位于上一行，a2，c2位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法.例3把下列各式因式分解：(1)12x25x2；(2)5x26xy8y2.解(1)12x25x2(3x2)(4x1).(2)5x26xy8y2(x2y)(5x4y).反思感悟用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先“凑”绝对值，然后调整，添加正、负号.

8、跟踪训练3把下列各式因式分解：(1)6x25x1；(2)6x211x7；(3)42x233x6；(4)2x45x23.解(1)(2x1)(3x1).(2)(2x1)(3x7).(3)(6x3)(7x2).(4)2(x1)(x1).1.分解因式x23x2为()A.(x1)(x2) B.(x1)(x2)C.(x1)(x2) D.(x1)(x2)答案B2.分解因式x2x1为()A.(x1)(x1)B.(x1)(x2)C.D.答案C3.分解因式：m24mn5n2_.答案(mn)(m5n)4.分解因式：(ab)211(ab)28_.答案(ab4)(ab7)5.分解因式：x2y2x3y2_.答案(xy2)(xy1)