3.2.2对数函数（三）学案（含答案）

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1、3.2.2对数函数(三)学习目标1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.掌握对数型复合函数的最值与值域知识点求f(x)logag(x)型函数的单调区间(1)先求g(x)0的解集(也就是函数的定义域)(2)在f(x)的定义域内，先求g(x)的单调区间，再按“同增异减”原则与对数函数复合.题型一对数型复合函数的单调性例1求函数y(x22x1)的值域和单调区间解设tx22x1，则t(x1)22(0,2y为单调减函数，且00，由二次函数的图象知1x0，由二次函数的图象知0x2.当0x2时，yx22x(x1)21(0,1，(x22x)10.函数

2、y(x22x)的值域为0，)(2)设ux22x(0x2)，vu，函数ux22x在(0,1)上是单调增函数，在(1,2)上是单调减函数，vu是单调减函数，由复合函数的单调性得函数f(x)(x22x)在(0,1)上是单调减函数，在(1,2)上是单调增函数例2已知函数y(x2axa)在区间(，)上是单调增函数，求实数a的取值范围解令g(x)x2axa，则g(x)在上是单调减函数，00在x(，)上恒成立，即2a2(1)，故所求a的取值范围是2，2(1)反思感悟若a1，则ylogaf(x)的单调性与yf(x)的单调性相同，若0a0，所以u6ax是单调减函数，那么函数ylogau就是单调增函数，所以a1，

3、因为0,2为定义域的子集，所以当x2时，u6ax取得最小值，所以62a0，解得a3，所以1a0可得2x0，得bx0可得xR，所以函数的定义域为R且关于原点对称，又f(x)lg(x)lg lg lg(x)f(x)，即f(x)f(x)所以函数f(x)lg(x)是奇函数方法二由x0可得xR，f(x)f(x)lg(x)lg(x)lg(x)(x)lg(1x2x2)0.所以f(x)f(x)，所以函数f(x)lg(x)是奇函数题型三对数型复合函数的值域与最值例4设f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，且a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值解(1)

4、f(1)2，loga(11)loga(31)loga42，解得a2(a0，且a1)，由得x(1,3)函数f(x)的定义域为(1,3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2，当x0,1时，f(x)是增函数；当x时，f(x)是减函数函数f(x)在上的最大值是f(1)log242.反思感悟(1)求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值)时，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围(2)对于形如ylogaf(x)(a0，且a1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：分解成ylogau，uf(x)两个函数；求f(x)的定义域；求u的取值范围；利用y

5、logau的单调性求解跟踪训练4若函数ylog2(x22)(axb)的值域是1，log214，则a，b的值分别为()A. B.C. D.或答案D解析由1log2(x22)log214得2x2214，得4x216，得4x2或2x4.由x220得x，故b.当a时，由函数ylog2(x22)(axb)是增函数得2x4，故a2，b4；当b0得(2x1)(x1)0，解得x1.设t2x23x122，所以函数t2x23x1的单调递增区间为(1，)，又yt为减函数，故y(2x23x1)的单调递减区间为(1，)2函数y(34xx2)的单调递增区间是()A(，2) B(2，) C(1,2) D(2,3)答案D解析

6、由34xx20，得x24x30，得1x3.设t34xx2，其图象的对称轴为x2.函数yt为减函数，要求函数y(34xx2)的单调递增区间，即求函数t34xx2,1x3的单调递减区间，函数t34xx2,1x0，且a1)在区间(1,2)上是增函数，则f(x)在区间(2，)上的单调性为()A先增后减 B先减后增C单调增函数 D单调减函数答案D解析当1x2时，函数f(x)loga|x2|loga(2x)在区间(1,2)上是单调增函数，所以0a1，函数f(x)loga|x2|在区间(2，)上的解析式为f(x)loga(x2)(0a0，即(x1)(x1)0，解得1x0解得定义域为x|x1，因为ylog2t

7、在定义域上是单调增函数，tx21在(1，)上是单调增函数，所以函数的单调增区间为(1，)7(2018全国)已知函数f(x)ln(x)1，f(a)4，则f(a)_.答案2解析f(x)f(x)ln(x)1ln(x)1ln(1x2x2)22，f(a)f(a)2，f(a)2.8若yloga(ax3)(a0且a1)在区间(1，)上是增函数，则a的取值范围是_答案(1,3解析因为yloga(ax3)(a0且a1)在区间(1，)上是增函数，所以解得10.设tlog2x(tR)，则原函数可以化为yt(t1)2(tR)，故该函数的最小值为.故f(x)的最小值为.三、解答题11已知函数f(x)loga(1x)lo

8、ga(x3)，其中0a1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为4，求a的值解(1)要使函数有意义，则有解得3x1，所以函数的定义域为(3,1)(2)函数可化为f(x)loga(1x)(x3)loga(x22x3)loga(x1)24，因为3x1，所以0(x1)244.因为0a1，所以loga(x1)24loga4，即f(x)minloga4，由loga44，得a44，所以a.12已知f(x)(x2axa)(1)当a1时，求f(x)的单调区间及值域；(2)若f(x)在上为单调增函数，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)(x2x1)，x2x12，(x2x1)2log

9、23，f(x)的值域为(，2log23yx2x1在上是单调减函数，在上是单调增函数，yx在(0，)上是单调减函数 ，f(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2)令ux2axa2a，f(x)在上为单调增函数，又yu为单调减函数，ux2axa在(，)上为单调减函数，且u0在上恒成立因此即解得1a.故实数a的取值范围是.13已知函数f(x)ln(3x)ln(3x)(1)求函数yf(x)的定义域；(2)判断函数yf(x)的奇偶性；(3)若f(2m1)f(m)，求m的取值范围解(1)要使函数有意义，则解得3x3，故函数yf(x)的定义域为(3,3)(2)由(1)可知，函数yf(x)的定义域为(3,3)，关于原点对称对任意x(3,3)，则x(3,3)f(x)ln(3x)ln(3x)f(x)，由函数奇偶性可知，函数yf(x)为偶函数(3)函数f(x)ln(3x)ln(3x)ln(9x2)，由复合函数单调性判断法则知，当0x3时，函数yf(x)为减函数又函数yf(x)为偶函数，不等式f(2m1)f(m)等价于|m|2m1|3，解得1m或1m2.