3.2.1（第2课时）对数的运算性质 学案（含答案）

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1、第2课时对数的运算性质学习目标1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值知识点一对数运算性质一般地，如果a0，且a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)知识点二换底公式1一般地，我们有logaN，其中a0，a1，N0，c0，c1.这个公式称为对数的换底公式2常用结论logablogba1，logab.题型一对数的计算例1计算下列各式的值：(1)lglglg；(2)lg 52lg 8lg 5lg 20(lg 2)2

2、；(3).解(1)原式(5lg 22lg 7)lg 2(2lg 7lg 5)lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5lg 2lg 5(lg 2lg 5)lg 10.(2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)22lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213.(3)原式.反思感悟(1)利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系(2)对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数跟踪训练1计算下列各式的值：(1)log5352l

3、og5log57log51.8；(2)2(lg)2lglg 51lg 2；(3)(lg 5)2lg 2lg 2lg 5.解 (1)原式log5(57)2(log57log53)log57log5log55log572log572log53log572log53log552log552.(2)原式lg(2lglg 5)1lg lg(lg 2lg 5)1lglg1lg1.(3)原式lg 2lg 5(lg 5lg 2)lg 2lg 51.题型二有条件的对数计算例2已知lg 20.301 0，lg 30.477 1，计算：(1)lg 5；(2)lg.解(1)因为lg 10lg(25)lg 2lg 51

4、，所以lg 51lg 210.301 00.699 0.(2)lglg 3lg 3lglg 3lg 5lg 3lglg 3(1lg 2)0.477 1(10.301 0)0.826 6.引申探究若本例条件不变，如何计算lg的值？解因为lg 20.301 0，lg 30.477 1，所以lglg(lg 9lg 8)(2lg 33lg 2)(20.477 130.301 0)0.012 8.反思感悟对数运算性质的变形技巧(1)对数的运算性质是进行同底数的对数运算的依据，对公式进行逆向运用和灵活变形运用是常用的解题技巧(2)常见的结论：lg 2lg 51，logaNloga0.跟踪训练2已知10a2

5、,10b3，试用a，b表示lg.解由10a2,10b3，得lg 2a，lg 3b，由对数的运算性质，得lg lg(527)(lg 53lg 3)(1lg 23lg 3).题型三换底公式例3计算：(1)lg 20log10025；(2)(log2125log425log85)(log1258log254log52)解(1)lg 20log100251lg 21lg 2lg 52.(2)(log2125log425log85)(log1258log254log52)(log253)(log52)log25(111)log52313.反思感悟(1)在化简带有对数的代数式时，若对数的底不同，需利用换底

6、公式(2)常用的公式有：logablogba1，logab，logab等跟踪训练3计算：(1)log23log35log516；(2)(log32log92)(log43log83)解(1)原式4.(2)原式.题型四对数运算性质的综合应用例4已知3a5bc，且2，求c的值解3a5bc，alog3c，blog5c，logc3，logc5，logc15.由logc152得c215，即c.引申探究把本例条件变为“3a5b15”，求的值解3a5b15，alog315，blog515，log153log155log15151.反思感悟应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正

7、用、逆用以及变形应用(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式跟踪训练4已知3a4b36，则的值为 答案1解析由3a4b36，得alog336，blog436，所以2log363log364log36(324)1.题型五对数的实际应用例5一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元？(lg 20.301 0，lg 9.1250.960 2)解设经过x年，这台机器的价值为8万元则820(10.087 5)x，即0.912 5x0.4，两边取以10为底的对数，得x10(年)所以约经过10年这台机器的价值为8万元

8、反思感悟解决对数应用题的一般步骤跟踪训练5某化工厂生产化工产品，今年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元(lg 20.301 0，lg 30.477 1，精确到1年)?解设x年后每桶的生产成本为20元1年后每桶的生产成本为50(128%)2年后每桶的生产成本为50(128%)2.x年后每桶的生产成本为50(128%)x20.所以，0.72x0.4.等号两边取常用对数，得xlg 0.72lg 0.4.故x3(年)所以，约3年后每桶的生产成本为20元1换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用

9、对数的运算性质进行对数式的化简2运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用(3)在运算过程中避免出现以下错误：logaNn(logaN)n，loga(MN)logaMlogaN，logaMlogaNloga(MN)1计算：log153log62log155log63等于()A2 B0 C1 D2答案B解析原式log15(35)log6(23)110.2计算log92log43等于()A4 B2 C. D.答案D解析log92log43.3设10a2，lg 3b，则log26等于()A. B. Cab Dab答案B解析10a2，

10、lg 2a，log26.4log816 .答案解析log8 16.5计算下列各式：(1)lg 25lg 2lglg(0.01)1；(2)2log32log3log383log55.解(1)原式lg 5lg 2lg 10212.(2)原式2log32log325log393log3232log325log323log32231.一、选择题1若3x2，则x等于()Alg 3lg 2 Blg 2lg 3C. D.答案D解析因为3x2，由指数式与对数式的互化关系可得xlog32，故选D.2若a0且a1，M0，则下列各式错误的是()AMBlogab(b0且b1)CmlogaM(m0)DlogaM(m0)

11、答案C解析由对数恒等式和换底公式即得选项C错误3已知lg 2a，lg 3b，则用a，b表示lg 15为()Aba1 Bb(a1)Cba1 Db(1a)考点对数的运算题点用代数式表示对数答案A解析lg 15lg(35)lg 3lg 5lg 3lg lg 31lg 2ba1.4若log5log36log6x2，则x等于()A9 B. C25 D.考点对数的运算题点换底公式的应用答案D解析由换底公式，得2，lg x2lg 5，x52.5某种食品因存放不当受到细菌的侵害据观察，此食品中细菌的个数y与经过的时间t(分钟)满足关系y2t，若细菌繁殖到3个，6个，18个所经过的时间分别是t1，t2，t3(分

12、钟)，则有()At1t2t3 Bt1t2t3Ct1t2t3 Dt2t20，且t1.xlog3t，ylog4t，zlog6t.2xpy，2log3tplog4tp.log3t0，p2log344log32.(2)证明logt6logt3logt2.又logt42logt2logt2，.13若a，b是方程2(lg x)2lg x410的两个实根，求lg(ab)(logablogba)的值解原方程可化为2(lg x)24lg x10.设tlg x，则方程化为2t24t10，设方程两根为t1，t2，t1t22，t1t2.又a，b是方程2(lg x)2lg x410的两个实根，t1lg a，t2lg b，即lg alg b2，lg alg b.lg(ab)(logablogba)(lg alg b)(lg algb)(lg alg b)212，即lg(ab)(logablogba)12.