2.2.2第2课时椭圆的几何性质及应用 学案（含答案）

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1、第2课时椭圆的几何性质及应用学习目标1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识知识点一点与椭圆的位置关系思考类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系的判定吗？答案当P在椭圆外时，1；当P在椭圆上时，1；当P在椭圆内时，b0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外1P在椭圆上1P在椭圆内b0)的位置关系？答案联立消去y得关于x的一元二次方程梳理直线与椭圆的三种位置关系位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解0知识点三直线与椭圆的相交弦思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？答案有两种方法：一种

2、方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得；另一种方法是利用弦长公式可求得梳理弦长公式：(1)AB|x1x2|；(2)AB|y1y2|(直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率)其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系而得到1椭圆y21的长轴长为4.()2椭圆1的离心率为.()3若椭圆1的离心率为，则m的值等于3.()类型一直线与椭圆的位置关系命题角度1直线与椭圆位置关系的判定例1当m取何值时，直线l：yxm与椭圆9x216y21

3、44.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点解由消去y，得25x232mx16m21440，(32m)2100(16m2144)576(m225)(1)由0，解得m5.(2)由0，解得m5.(3)由0，解得5m5.反思与感悟判断直线与椭圆的位置关系的方法跟踪训练1若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，求m的取值范围解因为直线ykx1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆1上或其内部就能满足题意，所以解得1m0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离0.此时直线的方程为y2(x4)，即x2y80.方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减，得0

4、，整理得kAB.由于P(4,2)是AB的中点，x1x28，y1y24，于是kAB.于是直线AB的方程为y2(x4)，即x2y80.反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系跟踪训练3已知椭圆ax2by21(a0，b0且ab)与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2，OC的斜率为，求椭圆的方程解方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.A，

5、B为直线xy10上的点，1.由已知得kOC，代入式可得ba.直线xy10的斜率为k1，又AB|x2x1|x2x1|2，|x2x1|2.联立ax2by21与xy10，消去y，可得(ab)x22bxb10.且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，x1x2，x1x2，4(x2x1)2(x1x2)24x1x224.将ba代入式，解得a，b.所求椭圆的方程是1.方法二由消去y，得(ab)x22bxb10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，且直线AB的斜率为k1.AB.AB2，2，1.设C(x，y)，则x，y1x.OC的斜率为，将其代入式，得a，b.所求椭圆的方

6、程为1.类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x2y21及直线yxm.若设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求AOB面积的最大值及AOB面积最大时的直线方程解由消去y，得5x22mxm210，由4m220(m21)0，得m，x1x2，x1x2，则AB|x1x2|.又O到AB的距离d.所以SAOBABd ，当且仅当m2m2时，等号成立，此时m，即AOB的面积最大为，此时直线方程为xy0.反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思

7、想其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件跟踪训练4直线yb与椭圆y21交于A，B两点，记AOB的面积为S.求在0b0，m1或m0且m3，m1且m3.2过椭圆y21的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则AB_.答案1解析由题意知AB为通径，则AB1.3椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若ABF2的内切圆周长为，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1y2|的值为_答案解析易知ABF2内切圆的半径r，根据椭圆的性质结合ABF2的特点，可得ABF2的面积Slr2c|y1y2|

8、，其中l为ABF2的周长，且l4a，代入数据解得|y1y2|.4过点P(1,1)的直线交椭圆1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为_答案x2y30解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又两式相减得.AB所在的直线方程为x2y30.5直线l：ykx1与椭圆y21交于M，N两点，且MN，求直线l的方程解设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y并化简，得(12k2)x24kx0，所以x1x2，x1x20.由MN，得(x1x2)2(y1y2)2，所以(1k2)(x1x2)2，所以(1k2)(x1x2)24x1x2，即(1k2)2，化简得k4k22

9、0，所以k21，即k1.所以所求直线l的方程是yx1或yx1.1直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有AB(k为直线斜率)(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况2解决椭圆中点弦问题的二种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系