3.3.3最大值与最小值 学案(含答案)
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1、3.3.3最大值与最小值学习目标1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点函数的最大值与最小值如图为yf(x),xa,b的图象思考1观察a,b上函数yf(x)的图象,试找出它的极大值、极小值答案极大值为f(x1),f(x3),极小值为f(x2),f(x4)思考2结合图象判断,函数yf(x)在区间a,b上是否存在最大值,最小值?若存在,分别为多少?答案存在,f(x)minf(a),f(x)maxf(x3)思考3函数yf(x)在a,b上的最大(小)值一定是某极值吗?答案不一定,也可能是区间端点的函数值梳理(1)函数的最大(小)值的存在性一般地,如果在区
2、间a,b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值(2)求函数yf(x)在闭区间a,b上的最值的步骤求函数yf(x)在(a,b)内的极值;将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值1定义在闭区间a,b上的函数f(x)一定有最大值和最小值()2函数f(x)在a,b上的最大值是f(b),最小值是f(a)()3定义在开区间(a,b)上的函数f(x)没有最值()4函数的所有极大值中最大的一个就是最大值()类型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1求下列函数的最值:(1)f(x)2x312x,x2,3;(
3、2)f(x)xsin x,x0,2解(1)f(x)2x312x,所以f(x)6x2126(x)(x),令f(x)0,解得x或x.因为f(2)8,f(3)18,f()8,f()8;所以当x时,f(x)取得最小值8;当x3时,f(x)取得最大值18.(2)f(x)cos x,令f(x)0,又x0,2,解得x或x.计算得f(0)0,f(2),f,f.所以当x0时,f(x)有最小值f(0)0;当x2时,f(x)有最大值f(2).反思与感悟求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点(1)对函数进行准确求导,并检验f(x)0的根是否在给定区间内;(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值;(3)比较
4、极值与端点函数值大小,确定最值跟踪训练1求函数f(x)ex(3x2),x2,5的最值解f(x)3exexx2,f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)在区间2,5上,f(x)ex(x3)(x1)0,函数f(x)在区间2,5上单调递减,当x2时,函数f(x)取得最大值f(2)e2;当x5时,函数f(x)取得最小值f(5)22e5.命题角度2含参数的函数求最值例2已知a是实数,函数f(x)x2(xa),求f(x)在区间0,2上的最大值解由题意,得f(x)x(3x2a),令f(x)0,解得x10,x2.当0,即a0时,f(x)在0,2上单调递增,从而f(x)maxf(
5、2)84a.当2,即a3时,f(x)在0,2上单调递减,从而f(x)maxf(0)0.当02,即0a3时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,从而f(x)max综上所述,f(x)max反思与感悟由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化所以解决这类问题常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解跟踪训练2在例2中,将区间0,2改为1,0,结果如何?解令f(x)0,解得x10,x2a.当a0,即a0时,f(x)在1,0上单调递增,从而f(x)maxf(0)0;当a1,即a时,f(x)在1,0上单调递减,从而f(x)maxf(1)1a;当1a0,即a0时,f(x),f
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