2018-2019学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合U1，2，3，4，5，6，A1，2，3，则UA（）A1，3，5B2，4，6C1，2，3D4，5，62（5分）已知向量（1，2），（1，1），则2（）A（3，0）B（2，1）C（3，3）D（3，3）3（5分）半径为3，圆心角为的扇形的弧长为（）ABCD4（5分）下列四组函数中，f（x）与g（x）相等的是（）Af（x）1，g（x）x0Bf（x）lnx2，g（x）2lnxCf（x）x，g（x）（）2Df（x）x，g（x）5

2、（5分）若函数yloga（x+3）（a0，且a1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（）A（2，0）B（0，2）C（0，3）D（3，0）6（5分）已知tan3，则的值是（）AB1C1D7（5分）已知关于x的方程x2ax+30有一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是（）A（4，+）B（，4）C（，2）D（2，+）8（5分）设a50.4，b0.45，clog50.4，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbcaCcabDcba9（5分）若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，那么下列命题中正确的是（）A函数f（x）在区间（0，1）内有零点B函

3、数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点C函数f（x）在区间2，16）内无零点D函数f（x）在区间（1，16）内无零点10（5分）如图，在正方形ABCD中，F是边CD上靠近D点的三等分点，连接BF交AC于点E，若m+n（m，nR），则m+n的值是（）ABCD11（5分）已知0，|，在函数f（x）sin（x+），g（x）cos（x+）的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当x（，）时，函数f（x）的图象恒在x轴的上方，则的取值范围是（）A（，）B，C（）D12（5分）已知函数f（x）和g（x）a（aR且为常数）有以下结论：当a4时，存在实数m，使得关于x的方程f（x）g（x）

4、有四个不同的实数根；存在m3，4，使得关于x的方程f（x）g（x）有三个不同的实数根；当x0时，若函数h（x）f2（x）+bf（x）+c恰有3个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x31；当m4时，关于x的方程f（x）g（x）有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，若f（x）在x，x4上的最大值为ln4，则sin（3x1+3x2+5x3+4x4）1其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）cos 14（5分）已知幂函数f（x）xa（a为常数）的图象经过点（3，），则a的值是 15（5分）若将函数f（

5、x）sin（x+）（07）的图象向右平移个单位后恰与f（x）的图象重合，则的值是 16（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）若对任意的xR，不等式f（x）f（x）恒成立，则实数a的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17计算：（1）（）0+（）；（2）2lg5+lg+218已知函数f（x）（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+）上是减函数19某公司在2018年承包了一个工程项目，经统计发现该公司在这项工程项目上的月利润P与月份x近似的满足某一函数关系其中2月到

6、5月所获利润统计如表：月份（月）2345所获利润（亿元）89908986（1）已知该公司的月利润P与月份x近似满足下列中的某一个函数模型：P（x）ax2+bx+c；P（x）abx+c；P（x）alogbx+c请以表中该公司这四个月的利润与月份的数据为依据给出你的选择（需要说明选择该模型的理由），并据此估计该公司2018年8月份在这项工程项目中获得的利润；（2）对（1）中选择的函数模型P（x），若该公司在2018年承包项目的月成本符合函数模型Q（x）（单位：亿元），求该公司2018年承包的这项工程项目月成本的最大值及相应的月份20已知函数f（x）2sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示（1）

7、求函数f（x）的解析式；（2）若将函数yf（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到yg（x）函数的图象求当x0，时，函数yg（x）的单调递增区间21已知点O（0，0），B（0，1），C（mcosx，sinx），其中m0，x（1）若|，求x的值；（2）若函数f（x）的最小值为g（m），求g（m）的表达式22已知定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x），且f（x）+g（x）ex（1）求函数f（x），g（x）的解析式；（2）设函数F（x）+1，记H（n）F（）+F（）+F（）+F（）（nN*，n2）探究是否存在正整数n（n2），使得对任意的x（0，1，不等式g（2x）H（n）

8、g（x）恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n的值；若不存在，请说明理由2018-2019学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合U1，2，3，4，5，6，A1，2，3，则UA（）A1，3，5B2，4，6C1，2，3D4，5，6【分析】在全集U中，找出不属于A的元素，即可确定出集合A在全集U中的补集【解答】解：集合U1，2，3，4，5，6，A1，2，3，UA4，5，6故选：D【点评】此题考查了补集及其运算，是一道基本题型学生求补集时注意全集的范围2（5

9、分）已知向量（1，2），（1，1），则2（）A（3，0）B（2，1）C（3，3）D（3，3）【分析】进行向量坐标的减法和数乘运算即可【解答】解：故选：D【点评】考查向量坐标的定义，以及向量坐标的减法和数乘运算3（5分）半径为3，圆心角为的扇形的弧长为（）ABCD【分析】利用弧长公式计算即可得答案【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为（rad），半径为r，则lr3故选：C【点评】本题考查了弧长公式，属于基础题4（5分）下列四组函数中，f（x）与g（x）相等的是（）Af（x）1，g（x）x0Bf（x）lnx2，g（x）2lnxCf（x）x，g（x）（）2Df（x）x，g（x）【分析】分别判断两

10、个函数的定义域和对应法则是否相同即可【解答】解：Ag（x）x01，x0，两个函数的定义域不相同，不是相等函数Bf（x）的定义域为x|x0，g（x）的定义域为x|x0，两个的定义域不相同，不是相等函数，Cg（x）的定义域为x|x0，两个的定义域不相同，不是相等函数Dg（x）x，两个函数的定义域，对应法则相同，是相等函数故选：D【点评】本题主要考查相等函数的判断，结合两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键5（5分）若函数yloga（x+3）（a0，且a1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（）A（2，0）B（0，2）C（0，3）D（3，0）【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得

11、它的图象经过定点的坐标【解答】解：对于函数yloga（x+3）（a0，且a1），令x+31，求得x2，y0，可得函数yloga（x+3）（a0，且a1）的图象恒过定点P（2，0），故选：A【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题6（5分）已知tan3，则的值是（）AB1C1D【分析】直接由同角三角函数基本关系式化弦为切求解【解答】解：tan3，故选：C【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的诱导公式的应用，是基础题7（5分）已知关于x的方程x2ax+30有一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是（）A（4，+）B（，4）C（，2）D（2，+）【分析】根据方程和

12、函数之间的关系，设f（x）x2ax+3，利用根的分布，转化为f（1）0即可【解答】解：设f（x）x2ax+3，若方程x2ax+30有一根大于1，另一根小于1，则只需要f（1）0，即f（1）1a+30，得a4，即实数a的取值范围是（4，+），故选：A【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布，结合函数与方程之间的关系转化为函数问题是解决本题的关键8（5分）设a50.4，b0.45，clog50.4，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbcaCcabDcba【分析】容易得出50.41，00.451，log50.40，从而可得出a，b，c的大小关系【解答】解：50.4501，00.450.401，l

13、og50.4log510；cba故选：D【点评】考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义9（5分）若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，那么下列命题中正确的是（）A函数f（x）在区间（0，1）内有零点B函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点C函数f（x）在区间2，16）内无零点D函数f（x）在区间（1，16）内无零点【分析】可判断函数f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，从而解得【解答】解：函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，函数f（x）唯一的一个零点在区间（0

14、，2）内，函数f（x）在区间2，16）内无零点，故选：C【点评】本题考查了函数的零点的位置的判断与应用10（5分）如图，在正方形ABCD中，F是边CD上靠近D点的三等分点，连接BF交AC于点E，若m+n（m，nR），则m+n的值是（）ABCD【分析】在正方形ABCD中，F是边CD上靠近D点的三等分点，利用平行线的性质定理可得，再利用向量共线定理、向量三角形法则可得，根据m+n（m，nR），利用平面向量基本定理可得m，n【解答】解：在正方形ABCD中，F是边CD上靠近D点的三等分点，又+，+，m+n（m，nR），m1，n则m+n故选：C【点评】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理、正方形的

15、性质、平行线的性质、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11（5分）已知0，|，在函数f（x）sin（x+），g（x）cos（x+）的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当x（，）时，函数f（x）的图象恒在x轴的上方，则的取值范围是（）A（，）B，C（）D【分析】由f（x）g（x），求出函数相邻两个交点横坐标，结合条件求出2，然后利用f（x）0求出x的范围进行求解即可【解答】解：由f（x）g（x），得sin（x+）cos（x+），即tan（x+）1，即x+k+，则xk+，x，当k0时，x1，当k1时，x2，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，x2x1，即2，则f（x）s

16、in（2x+），当x（，）时，函数f（x）的图象恒在x轴的上方，即此时f（x）0，恒成立，由f（x）0，得2k2x+2k+，kZ，得kxk+，则，得，得，当k0时，得，得，则的取值范围是，故选：D【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出的值是解决本题的关键综合考查三角函数的图象和性质，综合性较强，有一定的难度12（5分）已知函数f（x）和g（x）a（aR且为常数）有以下结论：当a4时，存在实数m，使得关于x的方程f（x）g（x）有四个不同的实数根；存在m3，4，使得关于x的方程f（x）g（x）有三个不同的实数根；当x0时，若函数h（x）f2（x）+bf（x）+c恰有3个不同的零点x1，x

17、2，x3，则x1x2x31；当m4时，关于x的方程f（x）g（x）有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，若f（x）在x，x4上的最大值为ln4，则sin（3x1+3x2+5x3+4x4）1其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个【分析】取m4时，满足条件；作出函数f（x）的图象，利用数形结合判断错误；设tf（x）|lnx|，根据h（x）有三个不同的零点，判断t的取值进行证明；当m4时，函数f（x）的图象确定，确定x1，x2，x3，x4，的取值关系进行判断即可【解答】解：当x0时，f（x）x2+mx（x2mx）（x）2+，当对称轴0且4，即m0且m216，即m4时

18、，f（x）g（x）4有四个不同的实数根，故正确，若m0，则函数的对称轴0，此时当x0时，函数f（x）为增函数，且f（x）0，此时当m3，4，使得关于x的方程f（x）g（x）不可能有三个不同的实数根，故错误当x0时，设tf（x）|lnx|，若f2（x）+bf（x）+c0有三个不同的根，则t2+bt+c0有两个不同的实根，其中t10，t20，当t10时，对应一个根x11，当t20时，对应两个根x2，x3，且0x21x3，则|lnx2|lnx3|，即lnx2lnx3，则lnx2+lnx30，即ln（x2x3）0，则x2x31，即x1x2x31，故正确，当m4时，作出f（x）的图象如图，由对数的性质知

19、x3x41，xx3，即f（x）在x，x4上的最大值为f（x）|lnx|2|lnx3|2lnx3ln42ln2，得lnx3ln2，得x3，则x42，由对称性知，即x1+x24，则sin（3x1+3x2+5x3+4x4）sin（12+8）sin（4+）sinsin1，故正确，故正确的是，共3个，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，结合不同条件先函数的图象，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点问题是解决本题的关键综合性较强，难度较大二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）cos【分析】应用诱导公式化简三角函数式，可得结果【解答】解：coscos（）cos，故

20、答案为：【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题14（5分）已知幂函数f（x）xa（a为常数）的图象经过点（3，），则a的值是【分析】根据幂函数的定义利用待定系数法即可求出a的值【解答】解：设幂函数yf（x）xa，aR，函数图象过点（3，），则3a，解得a故答案为：【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题15（5分）若将函数f（x）sin（x+）（07）的图象向右平移个单位后恰与f（x）的图象重合，则的值是6【分析】直接利用函数的关系式的平移变换的应用求出结果【解答】解：函数f（x）sin（x+）（07）的图象向右平移个单位后

21、，得到：g（x）sin（）恰与f（x）的图象重合，故：（kZ），解得：6k（kZ），由于：07，当k1时，6故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换和函数的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型16（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）若对任意的xR，不等式f（x）f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（3，+）【分析】利用函数的奇偶性画出函数f（x）的图象，将题中的恒成立问题转化为函数f（x）的图象始终在函数f（xa）的图象的上方，观察图象得出答案即可【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图示：若对任意的xR，不等式f（

22、x）f（x）恒成立，即函数f（x）的图象始终在函数f（xa）的图象的上方，当a0时，将函数f（x）的图象向左平移，不能满足题意，故a0，将函数f（x）的图象向右平移时的临界情况是当D点和B点重合，且临界情况不满足题意，由图可知向右平移的a个单位应大于6即可，即a6，解得：a3，故答案为：（3，+）【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17计算：（1）（）0+（）；（2）2lg5+lg+2【分析】（1）进行分数指数幂和根式的运算即可；（2）进行对数的运算即可【解答】解：（1）原式1

23、+3+2；（2）原式【点评】考查分数指数幂、根式和对数的运算，对数的定义18已知函数f（x）（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+）上是减函数【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可；（2）根据函数单调性的定义进行证明即可【解答】解：（1）函数的定义域x|x0，则f（x）f（x），则函数f（x）是偶函数，（2）当x0时，设0x1x2，则f（x1）f（x2），0x1x2，0x1+x2，x2x10，则f（x1）f（x2）0，则f（x1）f（x2），即函数f（x）在（0，+）上是减函数【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数

24、奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键19某公司在2018年承包了一个工程项目，经统计发现该公司在这项工程项目上的月利润P与月份x近似的满足某一函数关系其中2月到5月所获利润统计如表：月份（月）2345所获利润（亿元）89908986（1）已知该公司的月利润P与月份x近似满足下列中的某一个函数模型：P（x）ax2+bx+c；P（x）abx+c；P（x）alogbx+c请以表中该公司这四个月的利润与月份的数据为依据给出你的选择（需要说明选择该模型的理由），并据此估计该公司2018年8月份在这项工程项目中获得的利润；（2）对（1）中选择的函数模型P（x），若该公司在2018年承包项目的月成本符合函数

25、模型Q（x）（单位：亿元），求该公司2018年承包的这项工程项目月成本的最大值及相应的月份【分析】（1）结合数字的单调性排除函数，利用待定系数法进行求解系数（2）求出Q（x）的表达式，利用配方法结合二次函数的性质进行求解【解答】解：（1）由题意知a0，由于P（x）abx+c或P（x）alogbx+c是单调函数，由所给数据，不具备单调性，故函数不满足条件故选择函数，选择表格中的前三组数据，代入解析式得，即该公司的月利润P与月份x近似满足下列中的某一个函数模型为P（x）x2+6x+81，（x1，12且xN）当x8时，P（8）64+48+8165亿元即估计该公司2018年8月份在这项工程项目中获得的

26、利润为65亿元（2）Q（x），即当x2时，Q（x）取得最大值为11，此时对应的月份在2月份【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用待定系数法求出函数的解析式以及利用配方法，结合二次函数的最值性质是解决本题的关键20已知函数f（x）2sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将函数yf（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到yg（x）函数的图象求当x0，时，函数yg（x）的单调递增区间【分析】（1）根据图象确定 和的值进行求解即可（2）根据图象变换关系求出g（x）的解析式，结合函数单调性的性质求出单调递增区间即可【解答】解：（1）由图象

27、知，即周期T，即3，则f（x）2sin（3x+），由五点对应法得3+，即，则f（x）2sin（3x+）（2）若将函数yf（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到yg（x）函数的图象，即g（x）2sin（x+）由2kx+2k+，kZ，得kxk+，kZ，当k0时，得x，当k1时，得x，x0，时，0x或x，即数yg（x）的单调递增区间为0，【点评】本题主要考查三角函数解析式以及三角函数单调递增区间的求解，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键21已知点O（0，0），B（0，1），C（mcosx，sinx），其中m0，x（1）若|，求x的值；（2）若函数f（x）的最小值为g（m

28、），求g（m）的表达式【分析】（1）根据向量模的坐标运算可得；（2）先得到 f（x），再换元tsinx，得到h（t）（1m2）tt+m2，然后讨论二次函数的开口，对称轴，可求得最小值【解答】解：（1）由|得，即sinx，又x，x，（2）f（x）（mcosx）2+sinx（sinx1）（1m2）sin2xsinx+m2令sinxt，t1，1，则h（t）（1m2）t2t+m2当m1时，h（t）1t，g（m）h（t）min0当m1时，（i）当1m20，即m1或m1时，对称轴t0g（m）h（t）min0；（ii）当1m20，（）当01，即m时，g（m）h（t）minh（）；（）当1，即1m或m1时，g

29、（m）h（t）minh（1）0，综上所述：g（m）【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属难题22已知定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x），且f（x）+g（x）ex（1）求函数f（x），g（x）的解析式；（2）设函数F（x）+1，记H（n）F（）+F（）+F（）+F（）（nN*，n2）探究是否存在正整数n（n2），使得对任意的x（0，1，不等式g（2x）H（n）g（x）恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据已知中定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）ex，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于f（x）、

30、g（x）的另一个方程：f（x）+g（x）ex，解方程组即可得到f（x），g（x）的解析式（2）先判断出函数F（x）+1的图象关于点（，1）成中心对称，即对任意xR，F（1x）+F（x）2成立，即可求出H（n）n1，则对任意的x（0，1，不等式g（2x）H（n）g（x）恒成立，转化为ex+ex+1n恒成立，根据函数单调性即可求出n的取值范围，结合n2，即可求出m的值【解答】解：（1）f（x）为定义在R上的偶函数f（x）f（x）又g（x）为定义在R上的奇函数g（x）g（x）由f（x）+g（x）ex，f（x）+g（x）f（x）g（x）ex，g（x）（exex），f（x）（ex+ex），（2）易知为奇

31、函数，其函数图象关于（0，0）成中心对称，函数F（x）+1的图象关于点（，1）成中心对称，即对任意xR，F（1x）+F（x）2成立，H（n）F（）+F（）+F（）+F（），H（n）F（）+F（）+F（）+F（），两式相加可得2H（n）F（）+F（）+F（）+F（）+F（）+F（）2（n1）H（n）n1，g（2x）H（n）g（x），即e2xe2x（n1）（exex），（exex）（ex+ex）（n1）0，x（0，1，exex0，ex+ex+1n恒成立，令tex，t（1，e，则yt+1在（1，e上单调递增，y1+1+13，n3，又已知n2，n2，3【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数的对称性以及函数的单调性，考查了参数的取值范围，考查运算能力和转化能力，属于难题