2018-2019学年陕西省西安市未央区高一（上）12月月考数学试卷（含详细解答）

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1、1（5分）设集合Ay|y2x，xR，Bx|x210，则AB（）A（1，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）2（5分）函数f（x）的定义域为（）A（0，）B（2，+）C（0，）（2，+）D（0，2，+）3（5分）下列函数中，满足“f（x+y）f（x）f（y）”的单调递增函数是（）Af（x）xBf（x）x3Cf（x）（）xDf（x）3x4（5分）函数f（x）（x24）的单调递增区间为（）A（0，+）B（，0）C（2，+）D（，2）5（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数若af（），bf（log24.1），cf（20.8），则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcbaDcab6（5分）

2、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A3B2C2D27（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）ABCD8（5分）如果圆台的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A2BCD9（5分）已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A36B64C144D25610（5分）如图，在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是（）ABC平面PDFBDF平

3、面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC11（5分）设m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）若m，n，则mn 若，m，则m若m，n，则mn  若，则ABCD12（5分）设函数g（x）x22，f（x），则f（x）的值域是（）AB0，+）CD二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为   14（5分）空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF，则AD与BC所成的角为   15（5分）已知f（x）、g

4、（x）均为奇数，且F（x）af（x）+bg（x）+2在（，0）上的最小值是1，则函数F（x）在（0，+）上的最大值是   16（5分）已知函数f（x）|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是   三、解答题（共70分）17（12分）（1）方程的解集为   （2）函数的最小值为   （3）若函数f（x）lg（x22x+a）的定义域为R，则实数a的取值范围是   （用区间示）（此题只填最终答案，不要求过程）18（12分）已知函数f（x）|x+1|2x+3|（1）把f（x）解析式写成分段函数结构，并在图中画出yf（x）的图象；（2）利用图象求不等

5、式|f（x）|1的解集19（12分）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱求：（1）求出此圆锥的侧面积；（2）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（3）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积20（12分）如图所示，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点（1）求证：平面MOC平面VAB；（2）求三棱锥VABC的体积21（12分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，点D为A1C1的中点（I）求证：BC1平面AB1D；（II）求证：A1C平面AB1D；（）求异面直线AD与BC1所成角的大小22（10分

6、）（1）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系yekx+b（e2.718为自然对数的底数，k、b为常数）若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，求该食品在33的保鲜时间；（2）某药厂生产一种口服液，按药品标准要求，其杂质含量不能超过0.01%，若初始时含杂质0.2%，每次过滤可使杂质含量减少三分之一，问至少应过滤几次才能使得这种液体达到要求？（已知lg20.3010，lg30.4771）2018-2019学年陕西省西安中学高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）设集合Ay|y2x，xR，Bx|

7、x210，则AB（）A（1，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案【解答】解：Ay|y2x，xR（0，+），Bx|x210（1，1），AB（0，+）（1，1）（1，+）故选：C【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题2（5分）函数f（x）的定义域为（）A（0，）B（2，+）C（0，）（2，+）D（0，2，+）【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x1或log2x1，解得x2或0x，即函数的定义域为（0，）（2

8、，+），故选：C【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础3（5分）下列函数中，满足“f（x+y）f（x）f（y）”的单调递增函数是（）Af（x）xBf（x）x3Cf（x）（）xDf（x）3x【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案【解答】解：Af（x），f（y），f（x+y），不满足f（x+y）f（x）f（y），故A错；Bf（x）x3，f（y）y3，f（x+y）（x+y）3，不满足f（x+y）f（x）f（y），故B错；Cf（x），f（y），f（x+y），满足f（x+y）f（x）f（y），

9、但f（x）在R上是单调减函数，故C错Df（x）3x，f（y）3y，f（x+y）3x+y，满足f（x+y）f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；故选：D【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题4（5分）函数f（x）（x24）的单调递增区间为（）A（0，+）B（，0）C（2，+）D（，2）【分析】令tx240，求得函数f（x）的定义域为（，2）（2，+），且函数f（x）g（t）t根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（，2）（2，+） 上的减区间再利用二次函数的性质可得，函数t在（，2）（2，+） 上的减区间【解答】解：令tx240

10、，可得 x2，或 x2，故函数f（x）的定义域为（，2）（2，+），当x（，2）时，t随x的增大而减小，yt随t的减小而增大，所以y（x24）随x的增大而增大，即f（x）在（，2）上单调递增故选：D【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题5（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数若af（），bf（log24.1），cf（20.8），则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcbaDcab【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，af（）f（log25），bf（lo

11、g24.1），cf（20.8），又120.82log24.1log25，f（20.8）f（log24.1）f（log25），即cba故选：C【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题6（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A3B2C2D2【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥PABCD中，最长的棱为PA，即PA2，故选：B【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题7（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中

12、点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）ABCD【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案【解答】解：对于选项B，由于ABMQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于ABMQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于ABNQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题8（5分）如果圆台的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A2BCD【分析】设圆台上、下底面圆半径为

13、r、R，则母线l2（Rr），高h（Rr），由此结合圆台侧面积公式和梯形面积公式，即可算出该圆台的侧面积与轴截面面积的比【解答】解：圆台的母线与底面成60角，设上底圆半径为r，下底面圆半径为R，母线为l，可得l2（Rr）因此，圆台的侧面积为S侧（r+R）l2（R2r2）又圆台的高h（Rr）圆台的轴截面面积为S轴（2r+2R）h（R2r2）由此可得圆台的侧面积与轴截面面积的比为2（R2r2）：（R2r2）故选：C【点评】本题给出母线与底面成60角的圆台，求它的侧面积与轴截面面积的比值着重考查了圆台侧面积公式、梯形面积公式和解三角形等知识，属于基础题9（5分）已知A，B是球O的球面上两点，AOB90

14、，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A36B64C144D256【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，利用三棱锥OABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABCVCAOB36，故R6，则球O的表面积为4R2144，故选：C【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大是关键10（5分）如图，在正四面体PABC中，D、E、F分别

15、是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是（）ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC【分析】正四面体PABC即正三棱锥PABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BCDF，所以BC平面PDF，进而可得答案【解答】解：由DFBC，可得BC平面PDF，故A正确若PO平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DFPO，又DFAE故DF平面PAE，故B正确由DF平面PAE可得，平面PDF平面PAE，故C正确由DF平面PAE可得，AEDF，且A

16、E垂直AE与DF交点和P点边线，从而平面PDF平面ABC，平面PDF平面PDEPD，故D错误故选：D【点评】本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力11（5分）设m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）若m，n，则mn 若，m，则m若m，n，则mn  若，则ABCD【分析】直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，对选项进行逐一判断，推出结果即可【解答】解：若m，n，则mn，是直线和平面垂直的判定，正确；若，m，则m，推出，满足直线和平面垂直的判定，正确；若m，n，则

17、mn，两条直线可能相交，也可能异面，不正确若，则中m与n可能相交或异面考虑长方体的顶点，与可以相交不正确故选：A【点评】本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题12（5分）设函数g（x）x22，f（x），则f（x）的值域是（）AB0，+）CD【分析】根据x的取值范围化简f（x）的解析式，将解析式化到完全平方与常数的代数和形式，在每一段上求出值域，再把值域取并集【解答】解：xg（x），即  xx22，即  x1 或  x2  xg（x），即1x2由题意  f（x），所以当x（，1）（2，+）时，由二次函数的性质

18、可得 f（x）（2，+）；x1，2时，由二次函数的性质可得f（x），0，故选：D【点评】本题考查分段函数值域的求法，二次函数的性质的应用，考查分类讨论的数学思想，属于基础题二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可【解答】解：设正方体的棱长为a，这个正方体的表面积为18，6a218，则a23，即a，一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径，即a2R，即R，则球的体积V（）3；故答案为：【点评】本题主要

19、考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键14（5分）空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF，则AD与BC所成的角为600【分析】取BD的中点G，由题意及三角形中位线的性质可得EGF（或其补角）即为AD与BC所成的角，EGF中，由余弦定理求得 cosEGF 的值，即得EGF 的值，从而得到AD与BC所成的角【解答】解：如图所示：取BD的中点G，连接GE，GF空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，故EG是三角形ABD的中位线，GF是三角形CBD的中位线，故EGF（或其补角）即为AD与BC所成的

20、角EGF中，EF，由余弦定理可得 31+12cosEGF，cosEGF，EGF120，故AD与BC所成的角为60，故答案为：60【点评】本题考查异面直线所成的角的定义和求法，余弦定理的应用，体现了数形结合的数学思想，找出两异面直线所成的角，是解题的关键15（5分）已知f（x）、g（x）均为奇数，且F（x）af（x）+bg（x）+2在（，0）上的最小值是1，则函数F（x）在（0，+）上的最大值是5【分析】确定af（x）+bg（x）3，利用奇函数的定义，即可求函数F（x）在（0，+）上的最大值【解答】解：由题意，x（，0），F（x）af（x）+bg（x）+21，af（x）+bg（x）3，af（x）

21、+bg（x）af（x）bg（x）af（x）+bg（x）3F（x）af（x）+bg（x）+2af（x）bg（x）+25函数F（x）在（0，+）上的最大值是5，故答案为：5【点评】本题考查奇函数的定义，考查学生的计算能力，属于中档题16（5分）已知函数f（x）|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是0b2【分析】由函数f（x）|2x2|b有两个零点，可得|2x2|b有两个零点，从而可得函数y|2x2|函数yb的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）|2x2|b有两个零点，可得|2x2|b有两个零点，从而可得函数y|2x2|函数yb的图象有两个交点，结合函数的图象可

22、得，0b2时符合条件，故答案为：0b2【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质三、解答题（共70分）17（12分）（1）方程的解集为2（2）函数的最小值为（3）若函数f（x）lg（x22x+a）的定义域为R，则实数a的取值范围是（1，+）（用区间示）（此题只填最终答案，不要求过程）【分析】（1）利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可（2）结合对数函数的运算法则和二次函数的性质即可得到结论（3）由对数式的真数大于0恒成立，即可求出a的范围【解答】解：（1）log2（9x15）log2（3x1

23、2）+2，log2（9x15）log24（3x12），9x154（3x12），化为（3x）2123x+270，因式分解为：（3x3）（3x9）0，3x3，3x9，解得x1或2经过验证：x1不满足条件，舍去x2，故解集为2；（2）log2x2（1+log2x）log22x+log2x（log2x+）2，故最小值为（3）解：函数f（x）lg（x22x+a）的定义域为R，x22x+a0对任意xR恒成立，44a0，解得a1实数a的取值范围为（1，+）故答案为：（1）：2，（2）：，（3）：（1，+）【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能本题主要考查函数最值的求解，属

24、于中档题18（12分）已知函数f（x）|x+1|2x+3|（1）把f（x）解析式写成分段函数结构，并在图中画出yf（x）的图象；（2）利用图象求不等式|f（x）|1的解集【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，画出图象即可；（2）结合图象求出不等式的解集即可【解答】解：（1）f（x）|x+1|2x+3|，如图示：，（2）由（1）得：x1或x3，故不等式的解集是（，3）（1，+）【点评】本题考查了分段函数问题，考查数形结合思想以及分类讨论思想，考查不等式的解法，是一道常规题19（12分）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱求：（1）求出此圆锥的侧面积；（2

25、）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（3）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积【分析】（1）求出圆锥的母线长，计算圆锥的侧面积；（2）利用相似三角形求出圆柱的底面圆半径r，计算圆柱的侧面积；（2）利用二次函数的性质求出圆柱侧面积取最大值时x的值，再计算对应圆柱的体积【解答】解：（1）圆锥的底面半径R与高H均为2，则圆锥的母线长为L2，圆锥的侧面积为S圆锥侧RL224；（2）设圆柱的半径为r，圆柱的高为x，则，解得r2x，且0x2；圆柱的侧面积为S圆柱侧2rx2（2x）x2x2+4x，（0x2）；（2）由S圆柱侧2x2+4x2（x1）2+1，0x2；当x1时，S圆柱侧取得最大值为2，此时r1，圆柱

26、的体积为V圆柱r2x121【点评】本题考查了旋转体的结构特征，表面积与体积的计算问题，是基础题20（12分）如图所示，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点（1）求证：平面MOC平面VAB；（2）求三棱锥VABC的体积【分析】（1）证明OC平面VAB，即可证明平面MOC平面VAB；（2）三棱锥VABC的体积VVABCVCVAB由此能求出结果【解答】证明：（1）ACBC，O为AB的中点，OCAB，又平面VAB平面ABC，平面ABC平面VABAB，且OC平面ABC，OC平面VAB，OC平面MOC，平面MOC平面VAB；解：（2

27、）等腰直角三角形ACB中，ACBC，AB2，OC1，等边三角形VAB的边长为2，SVAB，又OC平面VAB，三棱锥VABC的体积VVABCVCVAB1【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键，是中档题21（12分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，点D为A1C1的中点（I）求证：BC1平面AB1D；（II）求证：A1C平面AB1D；（）求异面直线AD与BC1所成角的大小【分析】（I）连接A1B，交AB1于O点，连接OD，由平行四边形性质及三角形中位线定理可得ODBC1，进而由线面平行的判定定理得到BC1平面AB1D；（II）由直棱

28、柱的几何特征可得A1AB1D，由等边三角形三线合一可得B1DA1C1，进而由线面垂直的判定定理得到B1D平面AA1C1C，再由三角形相似得到A1CAD后，可证得A1C平面AB1D（III）由（I）中ODBC1，可得异面直线AD与BC1所成角即ADO，解ADO可得答案【解答】证明：（I）在三棱柱ABCA1B1C1中，连接A1B，交AB1于O点，连接OD在A1BC1中，A1DDC1，A1OOB，ODBC1，又OD平面AB1D，BC1平面AB1D；BC1平面AB1D；（II）在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1；B1D平面A1B1C1；A1AB1D在A1B1C1中，D为A1C1的中点

29、B1DA1C1又A1AA1C1A1，A1A，A1C1平面AA1C1C，B1D平面AA1C1C，又A1C平面AA1C1C，B1DA1C又DA1AA1AC90DA1AA1AC，ADA1CA1ADA1C+CA1A90DA1C+ADA190A1CAD又B1DADD，B1D，AD平面AB1D；A1C平面AB1D；解：（III）由（I）得，ODBC1，故AD与BC1所成的角即为ADO 在ADO中，AD，ODBC1，AOA1B，AD2OD2+AO2，ODAOADO为等腰直角三角形故ADO45即异面直线AD与BC1所成角等于45【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，直线与平面平

30、行的判定，（I）的关键是证得ODBC1，（II）的关键是熟练掌握线面垂直与线线垂直之间的转化，（III）的关键是得到异面直线AD与BC1所成角即ADO22（10分）（1）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系yekx+b（e2.718为自然对数的底数，k、b为常数）若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，求该食品在33的保鲜时间；（2）某药厂生产一种口服液，按药品标准要求，其杂质含量不能超过0.01%，若初始时含杂质0.2%，每次过滤可使杂质含量减少三分之一，问至少应过滤几次才能使得这种液体达到要求？（已知lg20.3010，lg30.4771）【分析】（1）由题意可得，x0时，y192；x22时，y48代入函数yekx+b，解方程，可得e11k，eb192，再由x33，代入即可得到结论（2）设出过滤次数，由题意列出不等式，然后通过求解指数不等式得n的取值【解答】解：（1）由题意可得，x0时，y192；x22时，y48代入函数yekx+b，可得eb192，e22k+b48，即有e11k，eb192，则当x33时，ye33k+b19224（2）：设过滤n次，则（1）n，即（）n，n7.4又nN，n8即至少要过滤8次才能达到要求【点评】本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题