第3章 导数及其应用 章末复习学案（含答案）

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1、章末复习学习目标1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题1在xx0处的导数(1)定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，称函数yf(x)在xx0处可导常数A为f(x)在xx0处的导数(2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线斜率(3)物理意义：瞬时速度、瞬时加速度2基本初等函数的求导公式函数导数yCy0yx(为常数)y

2、x1ysin xycos xycos xysin xyax(a0且a1)yaxln ayexyexylogax(a0且a1)yyln xy3.导数的运算法则和差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)商的导数(g(x)0)4.函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减(2)函数的极值与导数极大值：在xa附近，满足f(a)f(x)，当x0；当xa时，f(x)0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的

3、极大值；极小值：在xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时，f(x)a时，f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值5求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值特别提醒：关注导数的概念、几何意义利用导数的概念、几何意义时要特别注意切点是否已知，若切点未知，则设出切点，用切点坐标表示切线斜率正确理解单调性与导数、极值与导数的关系()当函数在区间(a，b)上为增函数时，f(x)0；()f(x0)0是函数yf(x)在x0处取

4、极值的必要条件1导数值为0的点一定是函数的极值点()2在可导函数的极值点处，切线与x轴平行()3函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()4函数f(x)xln x的最小值为e1.()类型一导数的几何意义及应用例1设函数f(x)x3ax29x1(a0)，直线l是曲线yf(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10xy6平行(1)求a的值；(2)求f(x)在x3处的切线方程解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由题意知，a2910，a1或1(舍去)故a1.(2)由(1)得a1.f(x)x22x9，则kf(3)6，f(3)10.f

5、(x)在x3处的切线方程为y106(x3)，即6xy280.反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型跟踪训练1求垂直于直线2x6y10并且与曲线yx33x25相切的直线方程解设切点坐标为P(x0，y0)，函数yx33x25的导数为y3x26x，则切线的斜率为k3x6x0.又直线2x6y10的斜率为k，kk(3x6x0)1，

6、解得x01，y03，即P(1，3)又k3，切线方程为y33(x1)，即3xy60.类型二导数中分类讨论思想命题角度1函数的单调性与导数例2已知函数f(x)ax2bxln x(a，bR)设a0，求f(x)的单调区间解由f(x)ax2bxln x，x(0，)，得f(x).(1)当a0时，f(x).若b0，当x0时，f(x)0，当0x时，f(x)时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)当a0时，令f(x)0，得2ax2bx10.由b28a0，得x1，x2.显然x10.当0xx2时，f(x)x2时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的单

7、调递减区间是，单调递增区间是.综上所述，当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；当a0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.反思与感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集(4)求参数的范围时常用到分离参数法跟踪训练2已知函数f(x)xa(2ln x)，a0，讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域是(0，)，则f(x)1.设g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判别式a28.当0，即0a0，都有f

8、(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数；当0，即a2时，仅对x时，有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0.此时f(x)也是(0，)上的单调递增函数；当0，即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根x1，x2，0x10，yf(x)为(，)上的增函数，所以yf(x)无极值；当a0时，令f(x)0，得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0，yf(x)在(ln a，)上递增，故f(x)在xln a处取得极小值f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，yf(x)无极值；当a0时，yf(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值(3)当a1时，f(x)x1.直线l：ykx1与曲线

9、yf(x)没有公共点等价于关于x的方程kx1x1在R上没有实数解，即关于x的方程(k1)x(*)在R上没有实数解当k1时，方程(*)为0，在R上没有实数解；当k1时，方程(*)为xex.令g(x)xex，则有g(x)(1x)ex，令g(x)0，得x1.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)g(x)0g(x)当x1时，g(x)min，从而g(x).所以当时，方程(*)没有实数解，解得k(1e,1)综上，k的取值范围为(1e,1反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负(3)求最

10、大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者跟踪训练3设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)求a的取值范围，使g(a)g(x)对任意x0成立解(1)由题设，知g(x)ln x，所以g(x)，令g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0，故g(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)1.(2)gln xx，设h(x)g(x)g2ln xx，则h(x)

11、.当x1时，h(1)0，即g(x)g；当x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)内单调递减当0x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g；当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g.(3)由(1)，知g(x)的最小值为1.因为g(a)g(x)对任意x0成立，所以g(a)1，即ln a1，解得0ae.即a的取值范围为(0，e)类型三导数中的构造函数问题命题角度1比较函数值的大小例4已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，f(x)0，若af，bf()，cf，则a，b，c的大小关系是 答案bca解析令g(x)xf(x)，则g(x)(x)f(x)x

12、f(x)，g(x)是偶函数g(x)f(x)xf(x)，f(x)0时，xf(x)f(x)0；当x0.g(x)在(0，)上是减函数ln 21，g()g(ln 2)g.g(x)是偶函数，g()g()，gg(ln 2)，g()gg，即bcbc解析设g(x)，则g(x).令g(x)0，解得xe；令g(x)e，g(x)在(0，e)上递增，在(e，)上递减，而543e，g(5)g(4)g(3)，即bc.命题角度2求解不等式例5定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x)满足f(x)2ex的解集为 答案(0，)解析设g(x)，则g(x).f(x)0，即函数g(x)单调递增f(0)2，g(0)f(0)2，则不

13、等式等价于g(x)g(0)函数g(x)单调递增，x0，不等式的解集为(0，)反思与感悟应用构造法解决不等式时，先根据所求结论与已知条件，构造函数，通过导函数判断函数的单调性，再利用单调性得到x的取值范围跟踪训练5设函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)为其导函数当x0时，f(x)xf(x)0，且f(1)0，则不等式xf(x)0的解集为 答案(1，)解析令g(x)xf(x)当x0时，g(x)xf(x)f(x)xf(x)0，g(x)在(0，)上单调递增又f(x)是偶函数，即f(x)f(x)，则g(x)(x)f(x)xf(x)g(x)，g(x)是奇函数，g(x)在R上单调递增f(1)0，则g(1

14、)1f(1)0，由xf(x)0，即g(x)g(1)，得x1，xf(x)0的解集为(1，)命题角度3利用导数证明不等式例6已知x1，证明：x1ln x.证明设f(x)x1ln x，x(1，)，则f(x)1，因为x(1，)，所以f(x)0，即函数f(x)在(1，)上是增函数，又x1，所以f(x)f(1)11ln 10，即x1ln x0，所以x1ln x.反思与感悟利用函数的最值证明不等式的基本步骤(1)将不等式构造成f(x)0(或0时，22x0时，exe01，f(x)2(1ex)0.函数f(x)22x2ex在(0，)上是减函数，f(x)0时，22x2ex0，22x2ex.1若函数f(x)x3bx2

15、cx的图象与x轴相切于点(1,0)，则函数f(x)的单调递减区间为 答案解析f(x)3x22bxc，由题意可得即得f(x)3x24x1，由f(x)0即3x24x10，解得x0)在1，)上的最大值为，则a的值为 答案1解析f(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0，f(x)单调递增，当x时，令f(x)，0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x2或3.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0，故f(x)在(2,3)上为减函数由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)6ln 2，在x3处取得极小值f(3)26ln 3.综上，f(x)的单调增区间为(0,2)，(3，)，单调减区间为(2,3)，f(x)的极大值为6ln 2，极小值为26ln 3. 1利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0)明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点2借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体3利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题