第2章推理与证明 章末复习学案（含答案）

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1、章末复习学习目标1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明1合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理：合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理2演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提提供了一个一般性的原理；小前提指出了一个特殊对象；结论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系3直接证明和间接证明(1)直接

2、证明的两类基本方法是综合法和分析法综合法是从已知条件推出结论的证明方法；分析法是从结论追溯到条件的证明方法(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.类型一合情推理与演绎推理例1(1)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案n(n1)(nN*)解析第一个等式中1，2；第二个等式中，2，3；第三个等式中，3，4.由此可推得第n个等式等于n(n1)(nN*)(2)下列推理正确的是_(填序号)把a(bc)与loga(xy)类比，则loga(xy)logaxlogay；把a

3、(bc)与sin(xy)类比，则sin(xy)sin xsin y；把(ab)n与(xy)n类比，则(xy)nxnyn；把(ab)c与(xy)z类比，则(xy)zx(yz)答案(3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案1和3解析由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1

4、和2，不满足题意故甲的卡片上的数字是1和3.反思与感悟(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的推理证明(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确跟踪训练1若数列an为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若SmSn(m，nN*且mn)，则Smn0.”类比上述

5、性质，相应地，当数列bn为等比数列时，写出一个正确的性质：_.考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案数列bn为等比数列，Tm表示其前m项的积，若TmTn(m，nN*，mn)，则Tmn1解析由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘由此，等差数列an的性质类比到等比数列bn中为：数列bn为等比数列，Tm表示其前m项的积，若TmTn(m，nN*，mn)，则Tmn1.类型二证明方法命题角度1综合法与分析法例2(1)已知a，b，c为互不相等的非负数求证：a2b2c2()；(2)证明：2cos().证明(1)因为a2b22ab，b2c2

6、2bc，a2c22ac，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“”，所以a2b2c2abbcac，因为abbc2，bcac2，abac2，又a，b，c为互不相等的非负数，所以abbcac()，所以a2b2c2()(2)要证原等式成立，只需证：2cos()sin sin(2)sin .因为式左边2cos()sin sin()2cos()sin sin()cos cos()sin cos()sin sin()cos sin 右边，所以式成立，即原等式成立反思与感悟分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合

7、一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件跟踪训练2已知x0，y0，求证： .证明要证明，只需证(x2y2)3(x3y3)2，只需证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，只需证3x4y23x2y42x3y3.又x0，y0，x2y20，只需证3x23y22xy.3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立，故.命题角度2反证法例3若x，y都是正实数，且xy2，求证：2与2中至少有一个成立证明假设2和0且y0，所以1x2y且1y2x，两式相加，得2xy2x2y，所以xy2.这与已知xy2矛盾故

8、2与2中至少有一个成立反思与感悟反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时，也常用反证法跟踪训练3已知：ac2(bd)求证：方程x2axb0与方程x2cxd0中至少有一个方程有实数根证明假设两方程都没有实数根，则1a24b0与2c24d0，有a2c22ac，即ac2(bd)，与已知矛盾，故原命题成立.1观察按下列顺序排序的等式：9011,91211,92321,93431，猜想第n(nN*)个等式应为_答案9(n1)n10n9解析由已知中的式子，我们观察后分析：等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，等式右边是一个等差数列根据已知可以

9、推断：第n(nN*)个等式为9(n1)n10n9.2在平面直角坐标系中，方程1(ab0)表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为_考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案1解析在平面直角坐标系中，方程1(ab0)表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为1.3猜想数列，的通项公式是_答案an(nN*)解析分析式子，的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数的乘积4用反证法证明命

10、题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是_答案方程x3axb0没有实根解析方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根5设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：2.证明由已知条件得b2ac，2xab,2ybc.要证2，只要证aycx2xy，只要证2ay2cx4xy.由得，2ay2cxa(bc)c(ab)ab2acbc，4xy(ab)(bc)abb2acbcab2acbc，所以2ay2cx4xy.1归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明2演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性3直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法