第3章数系的扩充与复数的引入 章末复习学案（含答案）

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1、章末复习学习目标1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd0(a，b，c，dR)(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数(5)复数的模：向量的模叫做

2、复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi| (a，bR)2复数的几何意义(1)复数zabi 复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z

3、3).类型一复数的概念例1已知复数za2a6i，分别求出满足下列条件的实数a的值：(1)z是实数；(2)z是虚数解由a2a60，解得a2或a3.由a22a150，解得a5或a3.由a240，解得a2.(1)由a22a150且a240，得a5或a3，当a5或a3时，z为实数(2)由a22a150且a240，得a5且a3且a2，当a5且a3且a2时，z是虚数引申探究本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由解由a2a60，且a22a150，且a240，得a无解，不存在实数a，使z为纯虚数反思与感悟(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如

4、实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据跟踪训练1(1)已知i是虚数单位，若(mi)234i，则实数m的值为_(2)下列说法：复数z是实数的充要条件是z；若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x2；实数集是复数集的真子集其中正确说法的个数是_考点复数的概念题点复数的概念及分类答案(1)2(2)2解析(1)(mi)2(m21)2mi34i，由复数相等得解得m2.(2)设zabi，a，bR，则abi，z时，得b0，z为实数；z为实数则b0，有z成立，所以正确；对于，若x2，则x240，x23x20，此时(x24)(x23

5、x2)i0，不是纯虚数，故错误；显然正确类型二复数的运算例2已知z是复数，z3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)(1)求复数z；(2)求的模解(1)设zabi(a，bR)，z3ia(b3)i为实数，可得b3.又为纯虚数，a1，即z13i.(2)2i，|2i|.反思与感悟复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用跟踪训练2已知z1，z2为复数，(3i)z1为实数，z2，且|z2|5，求z2.解z1z2(2i)，(3i)z1z2(2i)(3i)z2(55i)R，因为|z2|5，所以|z2(55i)|50，

6、所以z2(55i)50，所以z2(55i)类型三复数的几何意义例3(1)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为12i，26i，OACB，求顶点C所对应的复数z.(2)已知复数z1，z2满足|z1|3，|z2|5，|z1z2|，求|z1z2|的值解(1)设zxyi，x，yR，则顶点C的坐标为(x，y)如图，因为OABC，所以kOAkBC，OCBA，所以解得或因为OABC，所以舍去，故z5.(2)如图所示，设复数z1，z2的对应点为A，B，以，为邻边作OACB，则对应的复数为z1z2，所以|3，|5，|.所以cosAOB.所以cosOBC，又|3，所以|z1z2|.反思与感悟(

7、1)任意一个复数都对应着一个点和一个向量，因而复数的加减运算可以转化为总的坐标运算或向量运算(2)求复数模可以计算它对应的向量的模，也可以计算它对应的点到原点的距离跟踪训练3已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2cos2icos 2，其中(0，)，设对应的复数为z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线yx上，求的值解(1)由题意得zz2z1cos2sin2(cos 21)i12sin2i.(2)由(1)知，点P的坐标为(1，2sin2)由点P在直线yx上，得2sin2，sin2，又(0，)，sin 0，因此sin ，或.1若复数zcos i(i是虚数单位)是纯虚数，

8、则tan _.答案解析复数zcos i是纯虚数，则tan .2设z，则z的共轭复数为_答案13i解析由z13i，得13i.3若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为_答案解析zi.4若z是复数，且(3z)i1(i为虚数单位)，则z_.答案3i解析z33i.5复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,42i，由ABCD按逆时针顺序作ABCD，则|_.答案解析如图，设D(x，y)，F为ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，所以即所以点D对应的复数为z33i.因为，所以表示的复数为33i123i，所以|.1复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化2复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现3利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题.