2019全国中考数学真题分类汇编：相似、位似及其应用

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1、一、选择题1（2019苏州）如图，在ABC中，点D为BC边上的一点且AD=AB=2，ADAB，过点D作DEAD，DE交AC于点F若DE=1，则ABC的面积为（ ）A4 B4 C2 D8【答案】B【解析】ABAD，ADDE，BADADE90，DEAB，CEDCAB，CC，CEDCAB，DE1，AB2，即DEAB12，SDECSACB14，S四边形ABDESACB34，S四边形ABDESABD+SADE22212+13，SACB4，故选B2.（2019杭州）如图，在ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DEBC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)连接AM交DE干点N，则（ ）A. B. C.

2、D. 【答案】C【解析】根据DEBC，可得ADNABM与ANEAMC，再应用相似三角形的性质可得结论.DNBM，ADNABM，NEMC，ANEAMC，故选C3（2019常德）如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（ ）A20 B22 C24 D26【答案】D【解析】图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，ABC的面积为42，最小的三角形与ABC的相似比为，ADEABC，4，SADE4216，四边形DBCE的面积SABCSADE26，故选项D正确4（2019陇南）如图，将图形用放大镜放大，应该

3、属于（）A平移变换B相似变换C旋转变换D对称变换【答案】B【解析】由图可知，放大前与放大后图形是相似的，故选：B5. (2019枣庄)如图,将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置,已知ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA1,则AD等于A.2B.3C.4D.【答案】B【解析】由平移可得,ABCAMN,设相似比为k,SABC16,SAMN9,k216:9,k4:3,因为AD和AD分别为两个三角形的中线,AD:ADk4:3,ADAA+AD,AA:AD1:3,AA1,则AD3,故选B.6.（2019淄博）如图，在ABC中，AC2，BC4，D为BC边上的一点，且CADB. 若AD

4、C的面积为，则ABD的面积为（）A.B.C.D.【答案】C.【解析】在BAC和ADC中，C是公共角，CADB.，BACADC，,，又ADC的面积为，ABC的面积为，ABD的面积为.7. (2019 巴中)如图，ABCD,F为BC中点,延长AD至E,使DE:AD1:3,连接EF交DC于点G,则SDEG:SCFG( )A.2:3B.3:2C.9:4D.4:9【答案】D【解析】因为DE:AD1:3,F为BC中点,所以DE:CF2:3,ABCD中,DECF,所以DEGCFG,相似比为2:3,所以SDEG:SCFG4:9.故选D.8.（2019乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中

5、阴影部分的面积为（）ABCD第8题图【答案】A第8题答图【解析】四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，AD=DC=1，CE=2，ADCE，ADHECF，解得DH=，阴影部分面积为1=，故选A.9.（2019乐山）如图，在边长为的菱形中，过点作于点，现将沿直线翻折至的位置，与交于点.则等于（）ABCD第9题图【答案】A【解析】，AEB=90，菱形的边长为，AE=AB=，BE=CF=1.5，BF=3，CF=BF-BC=3-，ADCF，AGDFGC，解得CG=，故选A.10.（2019凉山）如图，在ABC中，D在AC边上，ADDC = 12，O是BD的中点，连接A0并延长交BC 于 E，则BEE

6、C=（ ）A. 12B. 13C. 14D. 23【答案】B【解析】过点D作DFAE，则,，BEEFFC=112，BEEC=13.故选B.11.（2019眉山）如图，在菱形ABCD中已知AB=4，ABC=60，EAF=60，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：BE=CF，EAB=CEF；ABEEFC，若BAE=15，则点F到BC的距离为，则其中正确结论的个数是A1个B 2个C3个D 4个【答案】B【解析】连接AC，在菱形ABCD中，AB=BC，ABC=60，ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=60，EAF=60，EAB+BAF=CAF+BAF=60，即EAB=CAF，A

7、BE=ACF=120，ABEACF，BE=CF，故正确；由ABEACF，可得AE=AF，EAF=60，AEF是等边三角形，AEF=60，AEB+CEF=60，AEB+EAB=60，CEF=EAB，故正确；在ABE中，AEB60，ECF=60，错误；过点A作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，EAB=15，ABC=60，AEB=45，在RtAGB中，ABC=60，AB=4，BG=AB=2，AG=BG=，在RtAEG中，AEG=EAG=45，AG=GE=，EB=EG-BG=-2，BAC=EAF=60，BAE=CAF，ABC=ACD=60，ABE=ACF=120在AEB和AFC中，AEBAFC，

8、AE=AF，EB=CF=-2，在RtCHF中，HCF=180-BCD=60，CF=-2，FH=CFsin60=（-2）=3-.点F到BC的距离为3-.故错误.故选B.12.（2019重庆B卷）下列命题是真命题的是（）A.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3B.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9C.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个全角形的面积比为2:3D.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9【答案】【解析】如果两个三角形相似,那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方.即

9、如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9；面积比是相似比的平方，即16:81.故选二、填空题13（2019滨州）在平面直角坐标系中，ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（4，0），O（0，0）以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到CDO，则点A的对应点C的坐标是_【答案】（1，2）或（1，2）【解析】点A的对应点C的坐标是（2，4）或（2（），4（），即（1，2）或（1，2）14.（2019滨州）如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分BCD交AB于点E，交BD于点F，且ABC60，AB2BC，连接OE下列结论：EOAC；SAOD4SOC

10、F；AC：BD：7；FB2OFDF其中正确的结论有_（填写所有正确结论的序号）【答案】【解析】在ABCD中，ABDC，ABC=60，BCD=120CE平分BCD，BCE=60，BCE是等边三角形，BE=BC=CE，BEC=60AB=2BC，AE=BE=CE，EAC=ACE=30，ACB=90在ABCD中，AO=CO，BO=DO，OE是ACB的中位线，OEBC，OEAC，故正确；OE是ACB的中位线，OE=BC，OEBC，OEFBCF，OF：BF=OE：BC=1：2，SAOD=SBOC=3SOCF，故错误；在RtABC中，AB=2BC，AC=BC，OC=BC在RtBCO中，OB=，BD=BC，A

11、C：BD=BC：BC =：7，故正确；OF：BF=1：2，BF=2OF，OB=3OF，OD=OB，DF=4OF，BF2=（2OF）2=4OF2，OFDF=OF4OF=4OF2，BF2=OFDF，故正确15.（2019凉山）在ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为23的两部分， 连接BE、AC相交于F，则SAEFSCBF是.【答案】4：25或925【解析】在ABCD中，ADBC，AEFCBF.如答图1，当AEDE=23时，AEAD=25,AD=BC，AEBC=25,SAEFSCBF=425；如答图2，当AEDE=32时，AEAD=35,AD=BC，AEBC=35,SAEFSCBF=925.

12、故答案为425或925.（第16题图答图1） （第16题图答图2）16.（2019衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为_.（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7“字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2.依此类推，摆放第n个“7”字图形得顶点Fn-1则顶点F2019的坐标为_.【答案】（1）（2）（，405）【解析】（1）因为DBC+BDC=90，DBC+OBA=90,DCB=BOA=90,所以BDC=OBA，

13、所以CDBOBA，所以OB:OA=CD:CB=.（2）因为OB:OA=1:2,AB=1,由勾股定理得OB=,OA=.因为CDH=ABO，DHC=BOA=90,CD=AB,所以DHCBOA,所以四边形OACH为矩形，DH=,HC=,同理MAFOBA，由AF=3得，AM=，FM=,在直角三角形NCF中，CN=AM=,CF=,NF=,在直角三角形ABC中，AC=,F点的坐标为（+，+）;根据规律F1比F的横坐标增加单位、纵坐标增加，F，F1点的坐标为（+2，+2）;F2比F1的横坐标增加单位，纵坐标增加单位，F2点的坐标为（+3，+3）; 所以F2019的坐标为（+2020，+2020），即（，40

14、5）.三、解答题17（2019长沙）（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形相似四边形对应边的比叫做相似比（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）两个大小不同的正方形相似（命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，ABC=A1B1C1，BCD=B1C1D1，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似（3）如图2，四边形ABCD中，ABCD，AC与BD相交于点O，过点O作

15、EFAB分别交AD，BC于点E，F记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFDE的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值【解题过程】（1）解：(1)四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等；三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；两个大小不同的正方形相似是真命题故答案为假，假，真(2)如图，分别连接BD、B1D1，BCD=B1C1D1，BCDB1C1D1，CBD=C1B1D1，CDB=C1D1B1，又ABC=A1B1C1，ABD=A1B1D1，ADB=A1D1B1，DAB=D1A1B1，ABC=A1B1C1，BCD=B1C1D1，ADC=A1D

16、1C1，DAB=D1A1B1，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似(3)四边形ABFE与四边形EFCD相似，EF=OEOF，EFABCD，AD =DE AE，2AE=DEAE，即AE=DE，18.（2019安徽）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC.P为ABC内部一点，且APB=BPC=135.（1）求证：PABPBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3. 求证：h12= h2h3.PBAC【解题过程】解：（1）证明：在ABP中，APB=135，ABP+BAP=45，又ABC为等腰直角三角形，ABC=45，即ABP+C

17、BP=45，BAP=CBP，又APB=BPC=135，PABPBC；4分（2）由（1）知PABPBC，所以=，于是，=2，即PA=2PC； 9分（3）如图3，过点P作边AB，BC，CA的垂线，垂足分别为Q，R，S，则PQ=h1，PR=h2，PS=h3，在RtCPR中，=tanPCR=，=，即h3=2 h2，又由PABPBC，且=，故=，即h1=h2，于是h12=h2h3.14分19.（2019重庆B卷）在ABCD中，BE平分ABC交AD于点E.（1）如图1，若D=30，AB=，求ABE的面积；（2）如图2，过点A作AFDC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF，求证：

18、EDAG=FC.解：（1）过点E作ENAB，交BA延长线于点N，垂足为N，在ABCD中，ADBC，ADCB，D=ABC=30，ABC=EAN=30；BE平分ABC，ABE=CBE，ADBC，AEB=CBE，AEB=ABE，AB=AE=；在RtAEN中，（2）延长BE交CD延长线于点M，设，在ABCD中，ABCD，ADBC，且CD=，AB=AF，AF=，GF=，ABCD，ABM=M，CBE=AEB，BE平分ABC，ABM=CBE，ABM=AEB，AE=；AEB=DEM，DEM=M，DM=，FM=，ABCD，解得：；AFDC，F=90，AG+CF=，DE-AG=CF.20.(2019台州)如图,正

19、方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是BA延长线上的一点,连接PC交AD于点F,APFD.(1)求的值;(2)如图1,连接EC,在线段EC上取一点M,使EMEB,连接MF,求证:MFPF;(3)如图2,过点E作ENCD于点N,在线段EN上取一点Q,使AQAP,连接BQ,BN,将AQB绕点A旋转,使点Q旋转后的对应点Q落在AD上.请判断点B旋转后的对应点B是否落在线段BN上,并说明理由.第24题图【分析】(1)通过相似构造等量解得对应线段AF与FD的长度,来求解它们之间的比例;(2)通过连接PD,构造全等转化3与1相等,再利用第一问求得的AP的长度得到EPEC,从而得到14,故转化34,从

20、而证明PFDFMC;(3)构造三角形,通过证明相似,求得对应线段长度,进行比较,从而得到结论.解：(1)设APx,则FDx,AF2x,在正方形ABCD中,ABCD,PAFCDF,解得,x0,.(2)连接DP,PADF,PADADC,ADCD,PADFDC,32,PDFC.又ABCD,12.又EC,EBEM1,MCFDAP.PEPA+AE+1EC.14,43.又FDMC,PDFC,PFDFMC,PFFM.图(1)(3)如图2,在AD上取一点Q,使AQAQ,在BN上取一点B,使ABAB,连接BQ,作BGAD于点G,交EN于点K,tanNBE2,ABAB2,BB,BNBNBB.NBKNBE,BK,K

21、N,BG,DG,QG3.在RtBGQ中,BGQ90,利用勾股定理可得BQ,而,BQBQ,点B不在BN上.图(2)21.（2019衢州）如图，在RtABC中，C=90，AC=6.BAC=60，AD平分BAC交BC于点D，过点D作DEAC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F,G.（1）求CD的长。（2）若点M是线段AD的中点，求的值。（3）请问当DM的长满是什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得CPG=60？解：（1）AD平分BAC，BAC=60，0AC=BAC=30。2分在RtADC中，DC=ACtan30=2，4分（2）易得，BC=6，BD=4.5分

22、由DEAC，得EDA=DAC，DFM=AGM.AM=DM，DFMAGM，DF=AG.由DEAC.得BFEBGA，=,7分=,8分(3）CPG=60，过C,P,G作外接圆，圆心为QCQG是顶角为120的等腰三角形。当Q与DE相切时，如图1，过Q点作QHAC，并延长HQ与DE交于点P，连接QC，QG。设Q的半径QP=r，则QH=r，r+r=2，解得r=，CG=4,AG=2.易知DFMAGM，可得=,则=。DM=.9分当Q经过点E时，如图2，过C点作CKAB，垂足为K.设Q的半径QC=QE=r，则QK=3-r.在RtEQK中，12+（3-r）2= r2，解得r=，CG=.易知DFMAGM，可得DM=

23、.10分当Q经过点D时，如图3，此时点M与点G重合，且给好在点A处，可得DM=411分综上所述，当DM=或DM4时，满足条件的点P只有一个.12分22.（2019金华）如图，在等腰RtABC中，ACB90，AB14，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90得到EF（1）如图1，若ADBD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD2DO（2）已知点G为AF的中点如图2，若ADBD，CE2，求DG的长若AD6BD，是否存在点E，使得DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由（第24题图）解：（1）由旋转的性质得：CDCF，DCF90，ABC是等腰

24、直角三角形，ADBD，ADO90，CDBDADDCFADC在ADO和FCO中ADOFCODOCOBDCD2 DO（2）如答图1，连结BF，分别过点D，F作DNBC于点N，FMBC于点MDNEEMF90又NDEMEF，DEEF，DNEEMFDNEM又BD，ABC45，DNEM7，BMBCMEEC5，MFNENCEC5BF点D，分别为AB，的中点DGBF过点D作DHBC于点HAD6BD，AB14，BD2）当DEG90时，有如答图2，3两种情况，设CEtDEF90，DEG，点E在线段AF上BHDH2，BE14t，HEBEBH12tDHEECA，即，解得t62，CE62或CE62）当DGBC时，如答图

25、4过点F作FKBC于点K，延长DG交AC于点N，延长AC并截取MNNA，连结FM则NCDH2，MC10设GNt，则FM2t，BK142tDHEEKFKEDH2，KFHE142tMCFK，142t10，t2GNEC2，GNEC，四边形GECN是平行四边形而ACB90，四边形GECN是矩形EGN90当EC2时，有DGE90）当EDG90时，如答图5过点G，F分别作AC的垂线，交射线AC于点N，M，过点E作EKFM于点K，过点D作GN的垂线，交NG的延长线于点P则PNHCBCHB12设GNt，则FM2t，PGPNGN12t由DHEEKF可得FK2，CEKM2t2HEHCCE12（2t2）142t，E

26、KHE142t，AMACCMACEK14142t282t，MNAM14t，NCMNCMtPDt2由GPDDHE可得，即，解得t110，t210（舍去），CE2t2182所以，CE的长为62，62，2或182.23.（2019自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上一点，连接BD、DE，将BDE绕点D逆时针旋转90，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.线段DB和DG的数量关系是；写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.（2）当四边形ABCD是菱形，ADC=60，点E是菱形ABCD边AB所在直线上一点，连接BD、DE，将BDE绕点D逆时针旋转120，旋转后角的两边分别与射线BC交于点

27、F和点G.如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1,AB=2，直接写出线段GM的长度.解：（1）答案：DB=DG.BDE绕点D逆时针旋转90得到GDF,EDF=GDB=90，BDE=GDF，四边形ABCD是正方形，DBC=DBA=12ABC=45.BDG=90，DBG=G=45.DB=DG.线段BE，BF和DB关系为：BF+BE=2BD，理由如下：EDB=FDG，DB=DG,DBE=G，EDBFDG.BE=GF.故答案为DB=DG.在RtBDG中，DBG=45，cosDBG=B

28、DBG=22,即BG=2BD，又BG=BF+FG=BF+BE,BF+BE=2BD.（2）线段BE，BF和DB关系为：BF+BE=3BD，理由如下：BDE绕点D逆时针旋转120得到GDF,EDF=GDB=120，BDE=GDF，四边形ABCD是菱形，ABC=ADC=60，BD平分ABC,EBD=DBG=12ABC=30，G=180-DBG-BDG=30，G=DBG，BD=GD，EDB=FDG，DB=DG,DBE=G，DBEDGF,BE=GF,BG=BF+GF=BF+BE.过D作DHBG于H，又DB=DG,BH =12BG，在RtBDH中，DBG=30，cosHBD=BHBD=32,BH=32BD

29、,又BH =12BG，BG=3BD.又BG=BF+BE，BF+BE=3BD.（2） GM=193，理由如下：由旋转可知，BDF=1200，又ABC=600，四边形ABCD为菱形，CDB=CBD=12ABC=300，FDC=BDF-BDC=900，在RtCDF中，DCF=1800-BCD=600，FC=CDCOSDCF=212=4.ABCD，CDMBEM，CMBM=CDBE=21，CM=23BC=43.由（2）可知，BDEFDG，GF=BE=1.GM=FG+FC+CM=1+4+43=193.24.（2019凉山）如图，ABD=BCD =90，DB平分ADC，过点B作BMCD交AD于M连接CM交D

30、B于N（1）求证：BD2 =ADCD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的长解：（1）证明：BD平分ADC，ADB=BDC，ABD=BCD=90，DABDBC，=,BD2=ADCD. (2)由（1）可知：BD2=ADCD.CD=6,AD=8，BD=4,又AD=8，AB= ，AB=AD，ADB =30，BDC=ABD=30，又ABD=BCD =90，A=DBC =60，BMCD，BDC=MBD =30，ABM =ABD-MBD =60，ABM是等边三角形，故BM=AB=4，ABDBCD，BMCD，CBM =180-BCD =90，CM=，BMCD，BMNDCN，CN=1.5MN，又CN+MN=C

31、M=，MN=25.（2019乐山）在中，已知是边的中点，是的重心，过点的直线分别交、于点、.（1）如图，当时，求证：；（2）如图，当和不平行，且点、分别在线段、上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图，当点在的延长线上或点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 解：（1）是重心，, 又, 则.（2）（1）中结论成立，理由如下：如图，过点作交的延长线于点，、的延长线相交于点，则， ， 又， 而是的中点，即， ， 又，故结论成立；（3）（1）中结论不成立，理由如下：当点与点重合时，为中点，, 点在的延长线

32、上时,则， 同理：当点在的延长线上时， 结论不成立.26.(2019泰安)在矩形ABCD中,AEBD于点E,点P是边AD上一点.(1)若BP平分ABD,交AE于点F,如图,证明四边形AGFP是菱形(2)若PEEC,如图,求证：;(3)在(2)的条件下,若AB1,BC2,求AP的长.解：(1)BP平分ABD,PFBD,PAAB,APPF,ABPGBE,又在RtABP中,APB+ABP90,在RtBGE中GBE+BGE90,APBBGE,又BGEAGP,APBAGP,APAG,AGPF,PFBD,AEBD,PFAG,四边形AGFP是平行四边形,AGFP是菱形;(2) AEBD,PEEC,AEP+P

33、ED90,CED+PED90,AEPCED,又PAE+ADE90,CDE+ADE90,PAECDE,AEPDEC,又CDAB,;(3) AB1,BC2,在RtADE中,由(2)知,.27（2019山东省青岛市，24，12分）已知：如图，在四边形A8CD中，AB/CD，ACB=90，A8=10cm，BC=8cm OD垂直平分AC，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P作PEAB，交BC于点E，过点Q作QFAC，分别交AD，OD于点F，G.连接OP，EG，设运动时间为t（s）（0t5），解答下列问题：（1）当为何值时，点E在BAC“的平分线上？（2）设四边形PECO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出的t值：若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OEOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 【解题过程】解：（1）在中，垂直平分线段，易知：，当点在的平分线上时，当为4秒时，点在的平分线上（2）如图，连接，（3）存在，时，四边形的面积最大，最大值为（4）存在如图，连接，整理得：，解得或（舍弃）当秒时，