2019全国中考数学真题分类汇编：直角三角形、勾股定理

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1、一、选择题1(2019广元)如图,ABC中,ABC90,BABC2,将ABC绕点C逆时针旋转60得到DEC,连接BD,则BD2的值是_【答案】【解析】连接AD,过点D作DMBC于点M,DNAC于点N,易得ACD是等边三角形,四边形BNDM是正方形,设CMx,则DMMBx+2,BC2,CDAC,在RtMCD中,由勾股定理可求得,x,DMMB,在RtBDM中,BD2MD2+MB2.2（2019绍兴 ）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ( )A. B. C.

2、D. 【答案】A【解析】如图所示：设DMx，则CM8x，根据题意得：（8x+8）33335，解得：x4，DM6，D90，由勾股定理得：BM5，过点B作BHAH，HBA+ABMABM+ABM90，HBA+ABM，所以RtABHMBD，即，解得BH，即水面高度为3（2019益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC、BC，则ABC一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】如图所示，AM=MN=2，NB1，AB=AM=MN+NB2+2+1=5，AC=AN

3、=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，,，ABC是直角三角形.4(2019广元)如图,在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得CDE15,连接BE并延长BE到F,使CFCB,BF与CD相交于点H,若AB1,有下列结论:BEDE;CE+DEEF;SDEC,.则其中正确的结论有( )A.B.C.D.【答案】A【解析】利用正方形的性质,易得BECDEC,BEDE,正确;在EF上取一点G,使CGCE,CEGCBE+BCE60,CEG为等边三角形,易得DECFGC,CE+DEEG+GFEF,正确;过点D作DMAC于点M,SDECSDMCSDME,正确;tanHBC2,HC2,D

4、H1HC1,错误.故选A.5. (2019宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书周髀算经中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影c2a2b2+b(a+bc),由勾股定理可知,c2a2b2,S阴影c2a2b2+S重叠S重叠,即S阴影S重叠,故选C.6.（2019重庆B卷）如图，在ABC中，A

5、BC=45，AB=3，ADBC于点D，BEAC与点E，AE=1.连接DE，将AED沿直线AE翻折至ABC所在的平面，得AEF，连接DF.过点D作DGDE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为( )A.8 B. C. D.【答案】D【解析】ABC=45，ADBC，ABC是等腰直角三角形，AD=BD.BEAC，ADBD，DAC=DBH，DBHDAC（ASA）.DGDE，BDG=ADE，DBGDAE（ASA），BG=AE，DG=DE，DGE是等腰直角三角形，DEC=45.在RtABE中，BE=，GE=，DE=.D，F关于AE对称，FEC=DEC=45，EF=DE=DG=，DF=GE=，四边形DFEG

6、的周长为2（+2-）=.故选D二、填空题7（2019苏州） “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 cm（结果保留根号）.（图） （图）（第15题）【答案】【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形与等腰三角形全等，且它们的斜边长都为10=5cm，设正方形阴影部分的边长为xcm，则=sin45=，解得x=，故答案为. 第15题答图8（2019威海）如图，在四边形ABCD中，ABCD，

7、连接AC，BD.若ACB90，ACBC,ABBD,则ADC 【答案】105【解析】过点D作DE AB于点E， 过点C作 CFAB垂足为F，由ACB90，ACBC,得ABC是等腰直角三角形，由三线合一得CF为中线，从而推出2CF AB，由ABCD得DECF，由ABBD得BD2DE，在RtDEB中利用三角函数可得ABD30，再由ABBD得BADADB75，最后由ABCD得BADADC180求出ADC105.9（2019苏州）如图，一块舍有45角的直角三角板，外框的一条直角边长为8 cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为 cm：（结果保留根号）（第18题）【

8、答案】第18题答图解析：如图，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，所以ABC与DEF有公共内心O，连接AD、BE、FC并延长相交于点O，过O作OGAB于G，交DE于H.则GH=，SABC=OG（AB+AC+BC）=ABAC，OG=，OH=，DEAB，ODEOAB，解得DE=6-，S阴影= SABC-SDEF=.10（2019江西）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(4，0)、(4，4)，(0，4)，点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA1，CPDP于点P，则点P的坐标为 .【答案】（，0）或（，0）【解析】设点P的坐标为（x，0），（1）当点D在线段AB上时，如图所

9、示：DA=1，点D的坐标为（，）.，.CPDP于点P，即，=0，原方程无解，即符合要求的点P不存在.（2）当点D在线段BA的延长线上，如图所示：DA=1，点D的坐标为（，）.，.CPDP于点P，即，=0，点P的坐标为（，0）或（，0）.11.(2019枣庄)把两个同样大小含45的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB2,则CD_.【答案】【解析】在等腰直角ABC中,AB2,BC,过点A作AMBD于点M,则AMMCBC,在RtAMD中,ADBC,AM,MD,CDMDMC.12. (2019巴中)如图

10、,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP6,BP8,CP10,则SABP+SBPC_.【答案】16+24【解析】将ABP绕点B顺时针旋转60到CBP,连接PP,所以BPBP,PBP60,所以BPP是等边三角形,其边长BP为8,所以SBPP16,因为PP8,PCPA6,PC10,所以PP2+PC2PC2,所以PPC是直角三角形,SPPC24,所以SABP+SBPCSBPP+SPPC16+24.三、解答题13.(2019巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE直线m于点E,BD直线m与点D.（1）求证:ECBD;（2）若设AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.证明：（1）ABC是等腰直角三角形, ACB90,ACBC, ACE+BCD90,AEEC, EAC+ACE90,BCDCAE,BDCD, AECCDB90,AECCDB(AAS), ECBD.（2）AECCDB,AEC三边分别为a，b，c,，BDECa,CDAEb,BCACc,S梯形(AE+BD)ED(a+b)(a+b),S梯形ab+c2+ab， (a+b)(a+b)ab+c2+ab,整理可得a2+b2c2,故勾股定理得证.