鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用微专题四压轴题的破解策略课件
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1、微专题四 压轴题的破解策略,第三章 导数及其应用,经验分享 通过对近几年以函数与导数为核心命制的压轴题的分析与研究,发现大多数需构造辅助函数才能顺利解决,构造辅助函数对学生的创造性与创新性思维能力的要求较高,那么辅助函数的构造有规律可循吗?构造辅助函数解决压轴题的具体策略有哪些呢?,策略一 观察分析构造 观察是科学研究的重要方法,也是数学解题的首要心理活动,更是构造辅助函数最为直接的策略. 例1 (2016全国)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点. (1)求a的取值范围;,解 a的取值范围为(0,);,(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1x22.,解 求导得f(x
2、)(x1)(ex2a),由(1)知a0. 所以函数f(x)的极小值点为x1. 结合要证结论x1x22,即证x22x1.若2x1和x2属于某一个单调区间,那么只需要比较f(2x1)和f(x2)的大小, 即探求f(2x)f(x)的正负性. 于是通过上述观察分析即可构造辅助函数F(x)f(2x)f(x),x1,代入整理得F(x)xex2(x2)ex. 求导得F(x)(1x)(exex2).即x1时,F(x)0,,则函数F(x)是(,1)上的单调减函数.于是F(x)F(1)0,则f(2x)f(x)0, 即f(2x)f(x). 由题x1,x2是f(x)的两个零点,并且在x1的两侧, 所以不妨设x11x2
3、,则f(x2)f(x1)f(2x1),即f(x2)f(2x1). 由(1)知函数f(x)是(1,)上的单调增函数,且x2,2x1(1,), 所以x22x1. 故x1x22得证.,点评 此题的压轴问以函数零点为依托,看似证明不等式,实则是极值右偏问题,解决的核心是通过观察分析构造辅助函数F(x)f(2x)f(x),建立抽象不等式“f(x2)f(2x1)”,再由函数的单调性去解决.,策略二 整体构建 整体思路是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,把某些式子或图形看成一个整体,进行有目的、有意识的整体处理.整体构造辅助函数就是立足这一思想来解决函数综合题的
4、一种策略.,例2 (2017全国)已知函数f(x)ax2axxln x,且f(x)0. (1)求a;,解 a1;,(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e2f(x0)22.,证明 由(1)f(x)x2xxln x, 求导得f(x)2x2ln x. 整体构造辅助函数g(x)2x2ln x,,且当x(0,x0)时,g(x)0;当x(x0,1)时,g(x)0. 因为f(x)g(x),所以xx0是f(x)的唯一极大值点. 由f(x)0得ln x02(x01),故f(x0)x0(1x0).,又因为xx0是f(x)在(0,1)上的最大值点, 结合e1(0,1),f(e1)0,得f(x0)f(e1)
5、e2. 所以e2f(x0)22.,策略三 局部构造 若问题的整体结构比较复杂,使得正面解决很困难时,可以考虑将复杂的整体看成几个部分,实施局部构造辅助函数,从局部突破,从而达到解决问题的目的.,例3 (2016全国)(1)讨论函数f(x) 的单调性,并证明当x0时, (x2)exx20;,解 略;,(2)证明:当a0,1)时,函数g(x) (x0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求h(a)的值域.,即h(0)a10,h(2)a0. 由零点定理及第(1)问结论知h(x)在(0,2上有唯一零点xm. 所以函数g(x)在(0,m)上单调递减,在(m,)上单调递增. 于是xm为函数g(x)的极
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