鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第3课时证明与探索性问题课件

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1、第3课时 证明与探索性问题,第九章 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题,NEIRONGSUOYIN,内容索引,题型分类 深度剖析,课时作业,题型分类 深度剖析,1,PART ONE,题型一 证明问题,师生共研,解 设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，,因此点P的轨迹方程为x2y22.,(2)设点Q在直线x3上，且 1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,证明 由题意知F(1,0).,又由(1)知m2n22，故33mtn0.,又过点P存在唯一直线垂直于OQ， 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也

2、涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法.,又a2b2c2，联立解得a23，b21.,(2)求证：PMPN.,证明 方法一 当P点横坐标为 时，纵坐标为1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PMPN.,PM的方程为yy0k(xx0)，,又kPM，kPN为方程的两根，,所以PMPN. 综上知PMPN.,纵坐标为1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PMPN.,联立得(13k2)x212k(sin kcos )x12(sin kcos )230， 令0， 即144k2(sin kcos )24(13k2)12(sin kcos )230， 化简得(34cos2)k24sin 2k14sin20

3、，,所以PMPN. 综上知PMPN.,题型二 探索性问题,师生共研,例2 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：y 与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点， (1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；,(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.,解 存在符合题意的点，证明如下： 设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直线PM，PN的斜率分别为k1，k2. 将ykxa代入C的方程得x24kx4a0. 故x1x24k，x1x24a.,当ba时，有k1k20， 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故OPMOPN，所以点P(0，a)

4、符合题意.,解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.,理由如下： 方法一 由题意，直线l的斜率存在， 设直线l的方程为ykxm(km0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，,所以16k28m280. (*),所以C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合.,由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|3|CD|.

5、,方法二 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，C(m,0)，D(0，n)，,解得M(2m，n)，N(m,2n). 又M，N两点在椭圆上，,课时作业,2,PART TWO,基础保分练,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,设P(x，y)，则 c|y|，,1,2,3,4,5,6,(2)过点A(4,0)作关于x轴对称的两条不同直线l1，l2分别交椭圆于M(x1，y1)与N(x2，y2)，且x1x2，证明直线MN过定点，并求AMN的面积S的取值范围.,1,2,3,4,5,6,解 设MN方程为xnym(n0)，,由题意知，16(n2m24)0，,关于x轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和

6、为0，,得2ny1y2m(y1y2)4(y1y2)0，,1,2,3,4,5,6,直线MN方程为xny1，直线MN过定点B(1,0).,2.(2018菏泽模拟)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O，焦点为圆F：x2y24x30的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A，D两点，交圆F于B，C两点，A，B在第一象限，C，D在第四象限. (1)求抛物线E的方程；,1,2,3,4,5,6,解 圆F的方程为(x2)2y21， 圆心F的坐标为(2,0)，半径r1. 根据题意设抛物线E的方程为y22px(p0)，,抛物线E的方程为y28x.,(2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|

7、的等差中项？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解 2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项，|BC|2r， |AB|CD|4|BC|42r8. |AD|AB|BC|CD|10. 讨论： 若l垂直于x轴，则l的方程为x2，代入y28x， 解得y4. 此时|AD|8，不满足题意； 若l不垂直于x轴，则设l的斜率为k(k0)， 此时l的方程为yk(x2)，,1,2,3,4,5,6,抛物线E的准线方程为x2， |AD|AF|DF|(x12)(x22)x1x24，,易知k2符合题设. 存在满足要求的直线l：2xy40或直线l：2xy40.,1

8、,2,3,4,5,6,3.(2018三明质检)已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y x上的圆E与x轴相切，且E，F关于点M(1,0)对称. (1)求E和的标准方程；,1,2,3,4,5,6,所以的标准方程为x24y. 因为E与x轴相切，故半径r|a|1， 所以E的标准方程为(x2)2(y1)21.,1,2,3,4,5,6,(2)过点M的直线l与E交于A，B，与交于C，D，求证： .,1,2,3,4,5,6,证明 由题意知，直线l的斜率存在， 设l的斜率为k，那么其方程为yk(x1)(k0)，,因为l与E交于A，B两点，,1,2,3,4,5,6,16k216k0恒成立，

9、 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x24k，x1x24k，,解得a22，b21，,1,2,3,4,5,6,(2)已知点P关于y轴的对称点Q在抛物线C：y2mx上，是否存在直线l与椭圆交于A，B，使得A，B的中点M落在直线y2x上，并且与抛物线C相切，若直线l存在，求出l的方程，若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,6,若直线l斜率存在，设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,A，B的中点M落在直线y2x上，,消元可得方程y22y2b0，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,消元可得方程9y28y10， 6449280，所

10、以直线x4y20满足题意. 当直线l斜率不存在时，直线x0满足题意. 综上所述，直线l的方程为x0或x4y20.,1,2,3,4,5,6,技能提升练,1,2,3,4,5,6,解 设椭圆的焦距为2c，,从而椭圆C的方程可化为x23y23b2. ,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点N(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,设M(x，y)，由(1)中各点的坐标有(x，y)(x1，y1)(x2，y2)， 故xx1x2，yy1y2. 又因为点M在椭圆C上，所以有(x1x2)23(y1y2)23b2，,1,2,3,4,5,6,又点A，B在椭圆C上，,将，代入可得，

11、221. 所以，对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，,1,2,3,4,5,6,所以存在0,2)，使得cos ，sin . 也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在0,2)，,1,2,3,4,5,6,(1)求椭圆E的方程；,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,解 由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,其判别式(8k)216(4k21)0，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，,