鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.2空间点直线平面之间的位置关系课件
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1、8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系,第八章 立体几何与空间向量,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.四个公理,知识梳理,ZHISHISHULI,公理1:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理2:过 的三点,有且只有一个平面
2、. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 过该点 的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相 .,两点,不在一条直线上,有且只有一条,平行,2.直线与直线的位置关系,共面直线,异面直线:不同在 一个平面内,没有公共点,平行,相交,任何,直线,直线,(1)位置关系的分类,(2)异面直线所成的角 定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).,锐角(或直角),3.直线与平面的位置关系有 、 、_ 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 、 两种情况.,直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面,平行,平行
3、,相交,5.等角定理,空间中如果两个角的 ,那么这两个角相等或互补.,两边分别对应平行,范围: .,1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗?,提示 不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交.,【概念方法微思考】,2.空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角一定相等吗?,提示 不一定.如果这两个角开口方向一致,则它们相等,若反向则互补.,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作a.( ) (2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于过A点
4、的任意一条直线. ( ) (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( ) (4)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,(5)没有公共点的两条直线是异面直线.( ) (6)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线. ( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,2.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成角的大小为 A.30 B.45 C.60 D.90,1,2,3,4,5,解析 连接B1D1,D1C,则B1D1EF, 故D1B1C即为所求的
5、角.又B1D1B1CD1C, B1D1C为等边三角形,D1B1C60.,6,1,2,3,4,5,3.如图,在三棱锥ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 (1)当AC,BD满足条件_时,四边形EFGH为菱形;,ACBD,解析 四边形EFGH为菱形, EFEH,ACBD.,解析 四边形EFGH为正方形,EFEH且EFEH,,ACBD且ACBD.,(2)当AC,BD满足条件_时,四边形EFGH为正方形.,ACBD且ACBD,6,4.是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m,n,且Am,A,则m,n的位置关系不可能是 A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行,1,2,
6、3,4,5,题组三 易错自纠,解析 依题意,mA,n, m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例),一定不平行.,6,1,2,3,4,5,5.如图,l,A,B,C,且Cl,直线ABlM,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过 A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M,解析 AB,MAB,M. 又l,Ml,M. 根据公理3可知,M在与的交线上. 同理可知,点C也在与的交线上.,6,1,2,3,4,5,6.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面的对数为_.,解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化, 则AB,CD,EF和G
7、H在原正方体中, 显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线, 而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行. 故互为异面的直线有且只有3对.,3,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 平面基本性质的应用,例1 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证: (1)E,C,D1,F四点共面;,师生共研,证明 如图,连接EF,CD1,A1B. E,F分别是AB,AA1的中点, EFBA1. 又A1BD1C,EFCD1, E,C,D1,F四点共面.,(2)CE,D1F,DA三线共点.,证明 EFCD1,EFCD1, CE与D1F必相
8、交, 设交点为P,如图所示. 则由PCE,CE平面ABCD,得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA, P直线DA,CE,D1F,DA三线共点.,共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法:先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;证两平面重合. (2)证明共线的方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.,跟踪训练1 如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且
9、BGGCDHHC12.,(1)求证:E,F,G,H四点共面;,证明 E,F分别为AB,AD的中点, EFBD.,GHBD,EFGH. E,F,G,H四点共面.,(2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.,证明 EGFHP,PEG,EG平面ABC, P平面ABC.同理P平面ADC. P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC平面ADCAC, PAC,P,A,C三点共线.,题型二 判断空间两直线的位置关系,例2 (1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是 A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多
10、与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交,师生共研,解析 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.故选D.,(2)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E2ED,CF2FA,则EF与BD1的位置关系是 A.相交但不垂直 B.相交且垂直 C.异面 D.平行,解析 连接D1E并延长,与AD交于点M, 由A1E2ED,可得M为AD的中点, 连接BF并延长,交AD于点N, 因为CF2FA,可得N为AD的中点, 所以M,N重合,所以EF和BD1共面,,所以EFBD1.,空间中两直线位置关系的判定,主要是
11、异面、平行和垂直的判定.异面直线可采用直接法或反证法;平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4线面平行与面面平行的性质定理;垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.,跟踪训练2 (1)已知直线a,b分别在两个不同的平面,内,则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 若直线a和直线b相交,则平面和平面相交; 若平面和平面相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交,故选A.,(2)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论: 直线AM与
12、CC1是相交直线; 直线AM与BN是平行直线; 直线BN与MB1是异面直线; 直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为_.(注:把你认为正确的结论序号都填上),解析 因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故错; 取DD1中点E,连接AE,则BNAE,但AE与AM相交,故错; 因为B1与BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故正确; 同理正确,故填.,题型三 求两条异面直线所成的角,师生共研,例3 (2018青岛模拟)如图,在底面为正方形,
13、侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为,解析 连接BC1,易证BC1AD1, 则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角. 连接A1C1,由AB1,AA12,,AB1,AA1t.,用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角; (2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角; (3)三求:解三角形,求出所作的角.,解析 如图,因为ABCD, 所以AE与CD所成角为EAB.,直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题.,核心素养之
14、直观想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,立体几何中的线面位置关系,(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;,证明 由已知FGGA,FHHD,,GHBC且GHBC, 四边形BCHG为平行四边形.,(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?,BEFG且BEFG, 四边形BEFG为平行四边形,EFBG. 由(1)知BGCH. EFCH,EF与CH共面. 又DFH,C,D,F,E四点共面.,素养提升 平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同,借助确定的几何模型,利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异.,3,课时作业,PART THREE,1.四条线段
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