鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量微专题九立体几何中的动态问题课件

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1、微专题九 立体几何中的动态问题,第八章 立体几何与空间向量,解题策略 立体几何中的“动态”问题就变化起因而言大致可分为两类：一是平移；二是旋转.就所求变量而言可分为三类：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离.立体几何动态问题的解决需要较高的空间想象能力与化归处理能力，在各省市的高考选择题与填空题中也时有出现.在解“动态”立体几何题时，如果我们能努力探寻运动过程中“静”的一面，动中求静，往往能以静制动、克难致胜.,1.去掉枝蔓见本质大道至简 在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决

2、“动态”问题的关键.,例1 如图1，直线l平面，垂足为O.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2.点A是直线l上的动点，点B1在平面内，则点O到线段CD1中点P的距离的最大值为_.,图1,解析 从图形分化出4个点O，A，B1，P，其中AOB1为直角三角形，固定AOB1，点P的轨迹是在与AB1垂直的平面上且以AB1的中点Q为圆心的圆，,当且仅当OQAB1，且点O，Q，P共线时取到等号，此时直线AB1与平面成45角.,2.极端位置巧分析穷妙极巧 在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案.,例2 在正四面体ABCD中，E为棱BC的中点，

3、F为直线BD上的动点，则平 面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是_.,解析 本例可用极端位置法来加以分析. 先寻找垂直：记O为ACD的中心，G为OC的中点，则BO面ACD，EG面ACD.如图2，过点A，E，G的平面交直线BD于点F.此时，平面AEF与平面ACD所面二面角的正弦值为1. 由图形变化的连续性知，当点F在直线BD的无穷远处时，看成EF和BD平行，此时平面AEF与平面ACD所成二面角最小(如图3)，其正弦值为 .,图2,图3,3.用法向量定平面定海神针 在解决立体几何中的“动态”问题时，有关角度计算问题，用法向量定平面，可将线面角或面面角转化为线线角.,图4,又因为l与直

4、线AH所成的角和l与平面A1BD所成的角互余，,4.锁定垂面破翻折独挡一面 在解决立体几何中的“动态”问题时，对于翻折或投影问题，若能抓住相关线或面的垂面，化空间为平面，则容易找到问题的核心.,例4 如图5，在等腰RtABC中，ABAC，BC2，M为BC的中点，N为AC的中点，D为线段BM上一个动点(异于两端点)，ABD沿AD翻折至B1DDC，点A在平面B1CD上的投影为点O，当点D在线段BM上运动时，以下说法错误的是,图5,解析 如图6， 记B2为B1在平面ADC上的射影，由B1DDC可得B2DDC. 记B2D交AB于点K，则DC平面B1B2K. 在B1DC中，作EMB1D交B1C于点E，连

5、接AE，则平面AEM平面B1B2K，平面AEM平面B1DC，从而点A在平面B1DC上的射影O在直线EM上.,图6,又AMOAME180，AMEB1DK，由最小角定理知B1DB2B1DA， 于是AMOB1DA180.故选C.,因为CO2MO2MC2，且MO(0，1)，,5.觅得定值明轨迹动中有静 在解决立体几何中的“动态”问题时，探寻变化过程中的不变关系，是解决动态问题的常用手段.,例5 如图7，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是O上的两个点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.不是平面图形,图7,解析 如图8，设O的半径为r，取BC

6、的中点M，则 OMBC，MHMC. 因为AB平面BCD，所以BC是AC在平面BCD上的射影，从而OM平面ABC，得OMMH，于是 OH2MO2MH2MO2MC2r2，,图8,即OHr，亦即动点H在以O为球心、r为半径的球面上. 又因为BHAD，B为定点，所以动点H又在过点B且垂直于直线AD的定平面上，故点H运动的轨迹是圆.,6.构建函数求最值以数解形 在解决立体几何中的“动态”问题时，对于一些很难把握运动模型(规律)的求值问题，可以通过构建某个变量的函数，以数解形.,例6 (2016浙江)如图9，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外一点P和线段AC上一点D，满足PDDA，PBB

7、A，则四面体PBCD 的体积的最大值是_.,图9,解析 设M，N分别为AC，AP的中点， 因为BABPBC，PDDA，所以点B在平面PAC上的射影为PAC的外心O，且点O在直线ND上.,图10,当且仅当点O与点M重合时取到等号.,当且仅当点M与点D重合时取到等号.,此时点O，M，D重合，即点D为AC的中点，且平面PBD与平面ABC垂直相交于BD.,总之，解立体几何动态问题的过程实质是数学建模的过程，是创新的过程.方程、函数和图形变换是基础，因此夯实基础是解决此类问题的关键.化整为零的思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、分类讨论思想等是解决立体几何动态问题的最佳策略.真正破解动态立体几何问题，需要整体把握动态变化过程，更需要深厚的空间想象之内功.如果说招式是术，那么内功就是修行，即不断积累知识与技巧、经验与经历.,