浙江专用2020版高考数学大一轮复习 第九章平面解析几何 第10讲 圆锥曲线的综合问题练习(含解析)
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1、第10讲 圆锥曲线的综合问题基础达标1已知椭圆E的中心在坐标原点,左、右焦点F1、F2在x轴上,离心率为,在其上有一动点A,A到点F1距离的最小值是1.过A、F1作一个平行四边形,顶点A、B、C、D都在椭圆E上,如图所示(1)求椭圆E的方程;(2)判断ABCD能否为菱形,并说明理由解:(1)依题,令椭圆E的方程为1(ab0),c2a2b2(c0),所以离心率e,即a2c.令点A的坐标为(x0,y0),所以1,焦点F1(c,0),即|AF1|x0a|,因为x0a,a,所以当x0a时,|AF1|minac,由题ac1,结合上述可知a2,c1,所以b23,于是椭圆E的方程为1.(2)由(1)知F1(
2、1,0),直线AB不能平行于x轴,所以令直线AB的方程为xmy1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程,得(3m24)y26my90,所以y1y2,y1y2.连接OA、OB,若ABCD是菱形,则OAOB,即0,于是有x1x2y1y20,又x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)1,所以有(m21)y1y2m(y1y2)10,得到0,可见m没有实数解,故ABCD不能是菱形2(2019金华十校第二期调研)已知抛物线C:yx2,点P(0,2),A,B是抛物线上两个动点,点P到直线AB的距离为1.(1)若直线AB的倾斜角为,求直线AB的方程;(2)求|AB|的最小值解:(1
3、)设直线AB的方程:yxm,则1,所以m0或m4,所以直线AB的方程为yx或yx4.(2)设直线AB的方程为ykxm,则1,所以k21(m2)2.由,得x2kxm0,所以x1x2k,x1x2m,所以|AB|24x1x2,记f(m)(m23),所以f(m)2(m2)(2m22m3),又k211,所以m1或m3,当m时,f(m)0,f(m)单调递减,当m时,f(m)0,f(m)单调递增,f(m)minf(1)4,所以|AB|min2.3(2019宁波市高考模拟)已知椭圆方程为y21,圆C:(x1)2y2r2.(1)求椭圆上动点P与圆心C距离的最小值;(2)如图,直线l与椭圆相交于A、B两点,且与圆
4、C相切于点M,若满足M为线段AB中点的直线l有4条,求半径r的取值范围解:(1)设P(x,y),|PC|,由2x2,当x时,|PC|min.(2)当直线AB斜率不存在且与圆C相切时,M在x轴上,故满足条件的直线有2条;当直线AB斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 由,整理得:,则kAB,kMC,kMCkAB1,则kMCkAB1,解得:x0,由M在椭圆内部,则y1,解得:y,由:r2(x01)2yy,所以r2,解得:r.所以半径r的取值范围为(,) .4已知椭圆y21上两个不同的点A,B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围;(2)求AOB面积的最大值(O为
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