江苏专用2020版高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明数学归纳法7.5合情推理与演绎推理教案含解析

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1、7.5合情推理与演绎推理考情考向分析以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中低档题1合情推理(1)归纳推理定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以

2、及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理2演绎推理(1)演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提一般性的原理；小前提特殊对象；结论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系概念方法微思考1合情推理所得结论一定是正确的吗？提示合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确2合情推理对我们学习数学有什么帮助？提示合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向3“三段论

3、”是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大前提是否可以省略？提示大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(4)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*)()(5)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就

4、一定正确()题组二教材改编2P64例1已知在数列an中，a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是_答案ann2解析a2a134，a3a259，a4a3716，a112，a222，a332，a442，猜想ann2.3P68T4在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n (n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则存在的等式为_答案b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)解析利用类比推理，借助等比数列的性质，bb1nb17n，可知存在的等式为b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)题组三易错自纠4正弦

5、函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理错误的原因是_答案小前提错误解析f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提错误5类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行则正确的结论是_(填序号)答案解析显然正确；对于，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交6观察下列关系式：1x1

6、x；212x，313x，由此规律，得到的第n个关系式为_答案(1x)n1nx解析左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n个关系式为(1x)n1nx(nN*)题型一归纳推理命题点1与数式有关的的推理例1(1)周易历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是_答案17解析由题

7、意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为12002102202312402517.(2)观察下列式子：1，1，1，根据以上式子可以猜想：1_.解析由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2019，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以a20183(20181)24037.命题点2与图形变化有关的推理例2分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构

8、也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为_答案364解析由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，n1时，a11；n2时，a2314；n3时，a334113；n4时，a4313140；n5时，a53401121；n6时，a631211364.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号

9、可解(2)与式子有关的推理观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解(3)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性跟踪训练1某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为_答案55解析由211,312,523知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.题型二类比推理例3(1)已知an为等差数列，a10105，a1a2a3a201952019.若bn为等比数列，b10105，则bn类似的结论是_答案b1b2b3b2019520

10、19解析在等差数列an中，令Sa1a2a3a2019，则Sa2019a2018a2017a1，2S(a1a2019)(a2a2018)(a3a2017)(a2019a1)2019(a1a2019)20192a1010102019，Sa1a2a3a201952019.在等比数列bn中，令Tb1b2b3b2019，则Tb2019b2018b2017b1，T2(b1b2019)(b2b2018)(b3b2017)(b2019b1)(b)2019，Tb1b2b3b2019(b1010)201952019. (2)祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两

11、个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体(圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在xOy坐标系中，设抛物线C的方程为y1x2(1x1)，将曲线C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为_答案解析构造如图所示的直三棱柱，高设为x，底面两个直角边长为2,1，由底面积相等得到，2x

12、12，x.下面说明截面面积相等，设截面距底面为t，矩形截面长为a，圆形截面半径为r，由左图得到，a2(1t)，截面面积为2(1t)(1t)，由右图得到，t1r2(坐标系中(图略)易得)，r21t，截面面积为(1t)，二者截面面积相等，体积相等抛物体的体积为V三棱柱Sh21.思维升华类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方)数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等跟踪训练2在平面上，设ha，hb，hc是ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：1.把它类比到空

13、间中，则三棱锥中的类似结论为_答案1解析设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高，P为三棱锥ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：1.题型三演绎推理例4设同时满足条件：bn1(nN*)；bnM(nN*，M是与n无关的常数)的无穷数列bn叫“特界”数列(1)若数列an为等差数列，Sn是其前n项和，a34，S318，求Sn；(2)判断(1)中的数列Sn是否为“特界”数列，并说明理由解(1)设等差数列an的公差为d，则a12d4,3a13d18，解得a18，d2，Snna1dn29n.(2)Sn为“特界”数列理由如下：由Sn110，得0，f(1)0，证明：(1)a0且20，f(1)0，所以c0,3a2bc0.由abc0，消去b得ac0；再由条件abc0，消去c得ab0，所以21.(2)因为抛物线f(x)3ax22bxc的顶点坐标为，又因为21，所以0，f(1)0，而f2019；存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2019，则a2019.所以不存在最小的正数a.即正确，错误；因为SnS1(S2S1)(S3S2)(SnSn1)a2aaaa4a5a(n2，nN*)，又S1a5a，所以存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2019，即正确15