江苏专用2020版高考数学大一轮复习第六章数列6.4数列的递推关系与通项教案含解析
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1、6.4数列的递推关系与通项考情考向分析由数列的递推关系求通项是高考的热点,考查学生的转化能力和综合应用能力,一般以解答题形式出现,中档难度1递推数列(1)概念:数列的连续若干项满足的等量关系ankf(ank1,ank2,an)称为数列的递推关系由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列(2)求递推数列通项公式的常用方法:构造法、累加(乘)法、归纳猜想法2数列递推关系的几种常见类型(1)形如anan1f(n)(nN*,且n2)方法:累加法,即当nN*,n2时,an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1.(2)形如f(n)(nN*且n2)方法:累乘法,即当nN*,n2时,ana1.注意:n
2、1不一定满足上述形式,所以需要检验(3)形如anpan1q(nN*且n2)方法:化为anp的形式令bnan,即得bnpbn1,bn为等比数列,从而求得数列an的通项公式(4)形如anpan1f(n)(nN*且n2)方法:两边同除pn,得,令bn,得bnbn1,转化为利用累加法求bn,从而求得数列an的通项公式概念方法微思考用构造法求数列通项一般构造什么样的数列?这体现了何种数学思想方法?提示构造等差或等比数列,体现了转化与化归思想题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在数列an中,a11,anan1(n2),则an.()(2)在数列an中,a12,an1an3n2
3、,则ann2.()(3)已知在数列an中,a11,前n项和Snan,则an.()(4)已知数列an的前n项和为Sn,且满足log2(Sn1)n1,则an2n.()题组二教材改编2P52公式推导过程在数列an中,已知a11,那么an_.答案3P41T13若数列an满足a11,annan1(n2,nN*),则数列an的通项公式为_答案an4P68T14在数列an中,a11,an1,则an_.答案解析an1可化为n,当n2时,1,2,3,n1.累加得12(n1),又a11也符合上式,an.题组三易错自纠5在斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,中,an,an1,an2的关系是_答案an2anan
4、16已知数列an满足a11,an13an2,则an_.答案23n11解析因为an13an2,所以an113(an1),所以3,所以数列an1为等比数列,公比q3,又a112,所以an123n1,所以an23n11.题型一累加法、累乘法求数列的通项公式1已知在数列中,a10,an1an2n1,求an.解由已知得anan12n3,当n2时,an(anan1) (an1an2)(a2a1)a1(2n3)(2n5)10(n1)2.当n1时,a10符合上式,所以an(n1)2,nN*.2数列满足a1,anan1(n2,nN*),求数列的通项解由anan1(n2,nN*)且a1,anan1an1an2,a
5、2a11,各式累加整理得an,n取1时,1a1,所以an(nN*)3已知在数列中,a12,且nan1(n2)an,求an.解由已知得,当n2时,ana12n(n1),当n1时,a12也符合上式,所以ann(n1)(nN*)思维升华(1)求形如an1anf(n)数列的通项公式,此类题型一般可以利用累加法求其通项公式,即an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1,累加求得通项公式;(2)求形如f(n)数列的通项,此类题型一般可以利用累乘法求其通项公式,即ana1,累乘求得其通项题型二构造等差数列求通项例1(1)已知在正项数列an中,Sn表示前n项和且2an1,则an_.答案2n1解析方法一
6、由已知2an1,得当n1时,a11;当n2时,anSnSn1,代入已知得2SnSn11,即Sn1(1)2.又an0,故1或1(舍),即1(n2),由定义得是以1为首项,1为公差的等差数列,n.故an2n1.方法二2an1,4Sn(an1)2,当n2时,4Sn1(an11)2,两式相减,得4an(an1)2(an11)2,化简可得(anan1)(anan12)0,an0,anan12,2a11,a11.数列an是以1为首项,2为公差的等差数列,an2n1.(2)已知在数列中,a12,an12an32n,则an_.答案2n,nN*解析在递推关系an12an32n的两边同除以2n1,得,令bn1,则
7、bn1bn,b11,所以bn是以1为首项,为公差的等差数列所以bn1(n1)n,故an2n,nN*.思维升华 (1)形如an1panqbn的递推关系可构造等差数列(2)对于含an,Sn混合型的递推关系,可通过an消去an或Sn.跟踪训练1(1)在数列an中,已知a11,an1,则an_.答案,nN*解析由已知可知an0,即,又1,是以1为首项,为公差的等差数列,(n1),an,nN*.(2)已知在数列中,a1,且当n2时,有an1an4anan10,则an_.答案(nN*)解析由题意知an0,将等式an1an4anan10两边同除以anan1得4,n2,则数列为等差数列,且首项为5,公差d4,
8、故(n1)d54(n1)4n1,an(nN*)题型三构造等比数列求通项公式例2(1)已知数列an满足a12,an12an2,求数列an的通项公式解an12an2,an122(an2),又a124,an2是以4为首项,2为公比的等比数列,an242n1,an2n12(nN*)(2)已知数列an中,a11,anan1n,记T2n为an的前2n项的和,bna2na2n1,nN*,求数列bn的通项公式解anan1n,an1an2n1,即an2an.bna2na2n1,a11,a1a2,a2,b1a1a2.bn是首项为,公比为的等比数列bnn1(nN*)思维升华形如anpan1q(pq0)型的递推关系,
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