江苏专用2020版高考数学大一轮复习第六章数列微专题二数列通项公式的常用求法教案含解析

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1、微专题二数列通项公式的常用求法一、累加法、累乘法例1已知数列an满足an1an23n1，a13，则数列an的通项公式为_答案an3nn1解析由an1an23n1，得a2a12311，a3a22321，a4a32331，anan123n11，累加可得ana12(31323n1)(n1)，又a13，an2n23nn1(n1时也成立)例2设数列an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式是an_.答案解析原递推式可化为：(n1)an1nan(an1an)0，an1an0，则，累乘可得，又a11，an(n1时也成立)跟踪训练1(1)在数列an中，a13，an

2、1an，则数列an的通项公式为an_.答案4解析原递推式可化为an1an，则a2a1，a3a2，a4a3，anan1，累加得ana11.故an4(n1时也成立)(2)在数列an中，a11，an12nan，则an_.答案解析a11，a22a1，a322a2，an2n1an1，累乘得an222232n1，当n1时也成立，故an.二、换元法例3已知数列an，其中a1，a2，且当n3时，anan1(an1an2)，求通项公式an.解设bn1anan1，原递推式可化为bn1bn2，bn是一个等比数列，b1a2a1，公比为.bnb1n1n1，故anan1n，an1an2n1，a3a23，a2a12，用累加

3、法得ann，当n1时也成立跟踪训练2已知数列an中，a11，a22，当n3时，an2an1an21，求通项公式an.解当n3时，(anan1)(an1an2)1，令bn1anan1，bn1bn21，bn是等差数列，其中b1a2a11，公差为1，bnn，b1b2bn1a2a1a3a2anan1an1，an1n(n1)，an(n1时也成立)三、构造等差数列求通项例4已知数列an满足an13an23n1，a13，求数列an的通项公式解an13an23n1，两边同除以3n1，得2，是以1为首项，以2为公差的等差数列，1(n1)22n1，an(2n1)3n.例5若数列an中，a12且an(n2)，求它的

4、通项公式an.解将an两边平方整理，得aa3.数列a是以a4为首项，3为公差的等差数列故aa(n1)33n1.因为an0，所以an.例6已知数列an中，a11，且当n2时，an，求通项公式an.解将an两边取倒数，得2，这说明是一个等差数列，首项是1，公差为2，所以1(n1)22n1，即an.跟踪训练3(1)已知数列an满足an13an3n，且a11.证明：数列是等差数列；求数列an的通项公式证明由an13an3n，两边同时除以3n1，得，即.由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列解由(1)知(n1)，故ann3n1，nN*.(2)已知数列an中，a11，an1ananan1(n

5、2，nN*)，则a10_.答案解析易知an0，数列an满足an1ananan1(n2，nN*)，1(n2，nN*)，故数列是等差数列，且公差为1，首项为1，1910，a10.四、构造等比数列求通项例7已知数列an满足a11，an13an2，求数列an的通项公式解由an13an2，可得an113(an1)，又a112，an1是以2为首项，以3为公比的等比数列，an123n1，an23n11.例8在数列an中，a11，an12an43n1，求通项公式an.解原递推式可化为an13n2(an3n1)，比较系数得4，式为：an143n2(an43n1)则数列an43n1是一个等比数列，其首项为a143

6、115，公比是2.an43n152n1，即an43n152n1.例9数列an满足a12，an1a(an0，nN*)，则an_.答案解析因为数列an满足a12，an1a(an0，nN*)，所以log2an12log2an，即2.又a12，所以log2a1log221.故数列log2an是首项为1，公比为2的等比数列所以log2an2n1，即an.跟踪训练4(1)若数列an中，a13且an1a(n是正整数)，则它的通项公式是an_.答案解析由题意知an0，将an1a两边取对数，得lgan12lgan，即2，又lga1lg3，所以数列lgan是以lg3为首项，公比为2的等比数列，lganlga12n

7、1，故an.(2)数列an中，a11，an1，则an_.答案解析由已知可得4，263，又23，是以3为首项，以3为公比的等比数列，23n，an.(3)数列an中，已知a11，an12an3n，则an_.答案3n(2)n1解析由已知可设an13n12(an3n)，比较系数可得，即an13n12，又a1，是以为首项，2为公比的等比数列，an3n(2)n1，an3n(2)n1.五、归纳推理法例10(1)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1Sn1Sn，则Sn_.答案解析由a11，an1SnSn1可得a2S1S2a1(a1a2)，故a2，同理可得a3，a4，由此猜想当n2时，有an，所以当n2时

8、，Sna1a2an1.又因为S11也适合上式，所以Sn.(2)已知数列an满足an1若a1，则a2018_.答案解析因为a1，根据题意得a2，a3，a4，a5，所以数列an是以4为周期的数列，又201850442，所以a2018a2.跟踪训练5(1)在数列an中，an1(1)nan2n1，则数列an的前12项和等于_答案78解析由题意，当n为奇数时，an1an2n1，an2an12n1，两式相减得an2an2；当n为偶数时，an1an2n1，an2an12n1，两式相加得an2an4n.所以S12(a1a3a11)(a2a4a12)234(2610)78.(2)已知数列an满足an2an1an，且a12，a23，Sn为数列an的前n项和，则S2018的值为_答案5解析依题意得，a12，a23，a3a2a1321，a4a3a2132，a5a4a3213，a6a5a43(2)1，a7a6a51(3)2，a8a7a62(1)3，所以数列an是周期为6的周期数列又因为201863362，所以S2018(231231)336235.(3)用x表示不小于x的最小整数，例如22，1.22，1.11.已知数列an满足a11，an1aan，则_.答案1解析a11，an1aan，an1，1.011，1.8