江苏专用2020版高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明数学归纳法7.4基本不等式及其应用教案含解析
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1、7.4基本不等式及其应用考情考向分析主要考查利用基本不等式求最值常与函数、解析几何、不等式相结合考查,作为求最值的方法,常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查,难度为中档1基本不等式:(a0,b0)(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a,bR)(2)2(a,b同号)(3)ab2 (a,bR)(4)2 (a,bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0,b0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已
2、知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当xy时,xy有最小值2.(简记:积定和最小)(2)如果和xy是定值p,那么当且仅当xy时,xy有最大值.(简记:和定积最大)概念方法微思考1若两个正数的和为定值,则这两个正数的积一定有最大值吗?提示不一定若这两个正数能相等,则这两个数的积一定有最大值;若这两个正数不相等,则这两个正数的积无最大值2函数yx的最小值是2吗?提示不是因为函数yx的定义域是x|x0,当x0时,y0且y0”是“2”的充要条件()(3)若a0,则a3的最小值为2.()(4)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()(5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()题组二
3、教材改编2P88T4设x0,y0,且xy18,则xy的最大值为_答案81解析x0,y0,即xy281,当且仅当xy9时,(xy)max81.3P89例1若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_m2.答案25解析设矩形的一边为xm,则另一边为(202x)(10x)m,yx(10x)225,当且仅当x10x,即x5时,ymax25.题组三易错自纠4“x0”是“x2成立”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析当x0时,x22(当且仅当x1时等号成立)因为x,同号,所以若x2,则x0,0,所以“x0”是“x2成立”的充要条件5若函数f
4、(x)x(x2)在xa处取最小值,则a_.答案3解析当x2时,x20,f(x)(x2)2224,当且仅当x2(x2),即x3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x3,即a3.6若正数x,y满足3xy5xy,则4x3y的最小值是_答案5解析由3xy5xy,得5,所以4x3y(4x3y)(492)5,当且仅当,即y2x1时,“”成立,故4x3y的最小值为5.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)已知0x1)的最小值为_答案22解析x1,x10,y(x1)222.当且仅当x1,即x1时,等号成立(3)函数y的最大值为_答案解析y,当x10时,y0,当x10时,y,当且仅当等号成立,即x5
5、时,ymax.命题点2常数代换法例2(1)(2018江苏省盐城市东台中学质检)已知x0,y0,且1,则xy的最小值为_答案32解析由x0,y0,得(xy)332,当且仅当yx时等号成立,又1,则xy32,所以xy的最小值为32.(2)已知正数x,y满足xy1,则的最小值为_答案解析正数x,y满足(x2)(y1)4,(x2)(y1),当且仅当x2y时,min.命题点3消元法例3已知正实数a,b满足a2b40,则u的最小值为_答案解析a2b40,ba24,aba2a4.又a,b0,u3333,当且仅当a2,b8时,两等号同时成立,即取得最小值思维升华 (1)前提:“一正”“二定”“三相等”(2)要
6、根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法跟踪训练1(1)若a,b,c都是正数,且abc2,则的最小值是_答案3解析a,b,c都是正数,且abc2,abc13,且a10,bc0.(a1bc)(54)3.当且仅当a12(bc),即a1,bc1时,等号成立(2)(2018苏北四市考试)已知实数x,y满足x2y23,|x|y|,则的最小值是_答案解析由已知可得1,(54),当且仅当|x2y|2xy|时取等号(3)若实数x,y满足xy3x3,则的最小值为_答案8解析由已知得,x,又0
7、x3,y3y36268,当且仅当y4时,min8.题型二基本不等式的实际应用例4某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)x210x(万元)当年产量不小于80千件时,C(x)51x1450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.051000x万元,依题意得当0x80时,L(x)1000x0.05250x2
8、40x250;当x80时,L(x)1000x0.052501200.L(x)(2)当0x0,n0),则m2n的最小值为_答案3解析,M,P,N三点共线,1,m2n(m2n)23,当且仅当mn1时等号成立命题点2求参数值或取值范围例6已知不等式(xy)9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为_答案4解析已知不等式(xy)9对任意正实数x,y恒成立,只要求(xy)的最小值大于或等于9,1aa21,当且仅当yx时,等号成立,a219,2或4(舍去),a4,即正实数a的最小值为4.思维升华求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围跟踪训练3(1)在AB
9、C中,A,ABC的面积为2,则的最小值为_答案解析由ABC的面积为2,所以SbcsinAbcsin2,得bc8,在ABC中,由正弦定理得22,当且仅当b2,c4时,等号成立(2)已知函数f(x)ax2bx(a0,b0)的图象在点(1,f(1)处的切线的斜率为2,则的最小值是_答案9解析由函数f(x)ax2bx,得f(x)2axb,因为函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线斜率为2,所以f(1)2ab2,所以(2ab)(108)9,当且仅当,即a,b时等号成立,所以的最小值为9.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学的语言表达问题,用数学的方法构建模型解决问题过
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