江苏专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数微专题一分段函数探究教案含解析

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1、微专题一分段函数探究一、分段函数的性质例1函数f(x)是(，)上的减函数，求a的取值范围解因为函数f(x)是(，)上的减函数，所以当x1时，f(x)x2(4a1)x8a4，x1是减函数，即1；当x1时，f(x)logax是减函数，即0a0时，x0)所以f(x)即f(x)xlg(2|x|)(xR)跟踪训练1(1)函数y(x3)|x|的单调增区间是_答案解析y(x3)|x|作出该函数的图象如图所示，观察图象知函数的单调增区间为.(2)已知函数f(x)是R上的增函数，则实数k的取值范围是_答案解析由题意得解得k0时，x0，g(x)g(x)，当x0，g(x)g(x)，又g(0)g(0)，所以g(x)为

2、偶函数(4)已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，求实数a的取值范围解当x0时，函数f(x)x24x在0，)上是增函数，当xf(a)，所以2a2a，所以2a1，所以12时，f(x)当x时，f(x)取得最小值3，此时1a3，解得a8，故a4或8.跟踪训练2(1)已知函数f(x)则函数f(x)的值域为_答案(1，)解析根据分段函数f(x)的图象(图略)可知，该函数的值域为(1，)(2)函数f(x)的最大值为_答案2解析当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.(3)已

3、知aR，函数f(x)a在区间1,4上的最大值是5，则a的取值范围是_答案解析方法一当x1,4时，x4,5当a5时，f(x)axa2ax，函数的最大值为2a45，解得a(舍去)；当a4时，f(x)xaax5，此时符合题意；当4a5时，f(x)maxmax|4a|a，|5a|a，则或解得a或a.综上，a的取值范围是.方法二当x1,4时，令tx4,5则f(x)|ta|a，结合数轴易知，t为4,5的对称轴，当a时，a靠近左端点4，此时|ta|5a|5a，即f(x)max5aa5，符合题意当a时，a靠近右端点5，此时|ta|4a|a4，即f(x)maxa4a2a45，不符合题意综上可得，a的取值范围是.

4、方法三当x1,4时，x4,5结合数轴可知，f(x)maxmax|5a|，|4a|a令f(x)max5，得a.(4)函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围解因为当x1时，lnx0，又因为函数f(x)的值域为R，所以当x1时，f(x)(12a)x3a必须取到所有的负数，所以解得1a1时，log81x，即x9.故所求零点为1和9，g(x)的零点个数为2.(2)函数f(x)若关于x的方程f(x)kxk至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_答案(1，)解析如图，作出函数图象，ykxk过定点(1,0)，临界点和(1,0)连线的斜率为，又f(1)1，由图象知实数k的取值范围是(1，)跟踪训练3

5、已知函数f(x)若函数g(x)2f(x)ax恰有2个不同零点，求实数a的取值范围解函数g(x)2f(x)ax恰有2个不同的零点，即方程2f(x)ax0恰有2个不相等的根，亦即方程组或共有2个不相等的根首先中2xax0，即(2a)x0，若a2，则x2都是方程2xax0的根，不符合题意，所以a2，因此由2xax0，解得x0，下面分情况讨论(1)若x0是方程的根，则必须满足0a，即a0，此时方程必须再有另一个根，即有一根，因为x0，由2x36xax0，得2x26a必须有满足x0，其次解得负根需满足a0，从而解得a0.(2)若x0不是方程的根，即方程无根，则必须满足00，此时方程必须有两个不相等的根，

6、即有两个不相等的根，由2x36xax0，得x0a适合，另外2x26a必须还有一个满足x0的非零实根，首先6a0，由于解得的负根0总成立，故要求解得的正根需满足a，从而解得0a2，但前面已经指出a2，故0a2.综合(1)(2)，得实数a的取值范围为.四、分段函数的综合问题例6已知函数f(x)x2(x1)|xa|.(1)若a1，解方程f(x)1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若a1，且不等式f(x)2x3对一切实数xR恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)当x1时，令2x211，解得x1或x1；当x1时，f(x)1恒成立方程的解集为x|x1或x1(2)

7、f(x)若f(x)在R上单调递增，则有解得a.(3)设g(x)f(x)(2x3)，则g(x)即不等式g(x)0对一切实数xR恒成立a1，当xa时，g(x)单调递减，其值域为(a22a3，)a22a3(a1)222，g(x)0恒成立当xa时，a1，a，g(x)minga30，得3a5.a1，3a1.综上所述，3a1.跟踪训练4已知函数f(x)x22x|xa|，其中aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式4f(x)16在x1,2上恒成立，求实数a的取值范围解(1)由f(x)故当a0时，f(x)在(，a)和(a，)上递增，又f(a)a2，f(x)在R上递增，当a0时，f(x)在(，a)和上递增，在上递减(2)由题意只需f(x)min4，f(x)max16，首先，由(1)可知，f(x)在x1,2上递增，则f(x)minf(1)12|1a|4，解得a或a，其次，当a时，f(x)在R上递增，故f(x)maxf(2)4a416，解得a5，当a时，f(x)在x1,2上递增，故f(x)maxf(2)124a16，解得1a，综上实数a的取值范围为1a或a5.7