江苏专用2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何高考专题突破五高考中的解析几何问题第1课时范围最值问题教案含解析

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1、第1课时范围、最值问题题型一范围问题例1设椭圆1(a)的右焦点为F，右顶点为A.已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围解(1)设F(c,0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得x2或x.由题意得xB，从而yB.由(1)知，F(

2、1,0)，设H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得0，所以0，解得yH.因此直线MH的方程为yx.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM.在MAO中，由MOAMAO，得MAMO，即(xM2)2yxy，化简，得xM1，即1，解得k或k.所以直线l的斜率的取值范围为.思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取

3、值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围跟踪训练1(2018浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围(1)证明设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1,2，所以y1y22y0，所以PM垂直于y轴(2)解由(1)可知所以PM(yy)x0y3x0，|y1y2|2.所以P

4、AB的面积SPABPM|y1y2|.因为x1(1x0b0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求OAB面积的最大值解(1)由题意，得acb，则(ac)2b2，结合b2a2c2，得(ac)2(a2c2)，即2c23aca20，亦即2e23e10，结合0e0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1,2，所以x1x2，因为y1y2k(x1x2)2m，所以线段AB的中点N的坐标为，因为点N在直线yx上，所以2，解得k.所以48(12m2)0，解得2m2，且m

5、0，AB|x2x1|.又原点O到直线l的距离d，所以SOAB.当且仅当12m2m2，即m时等号成立，符合2m0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(xM，yM)，则x1,2，即x1x2，x1x2，所以xM，yMxMb，将AB的中点M代入直线方程ymx，解得b，由得m.(2)令t，则t2.则AB|x1x2|，且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)ABd，当且仅当t2时，等号成立，此时满足t2.故AOB面积的最大值为.1已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小

6、值解(1)由题意，得椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22，因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以AB2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0b0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.(1)解设直线l的方程为ykxm(kb0)的离心率为，过点M(1，0)的直线l交椭圆

7、C于A，B两点，MAMB，且当直线l垂直于x轴时，AB.(1)求椭圆C的方程；(2)当时，求弦长AB的取值范围解(1)由已知e，得，当直线垂直于x轴时，AB，椭圆过点，代入椭圆方程得1，又a2b2c2，联立可得a22，b21，椭圆C的方程为y21.(2)当过点M的直线的斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点，322或32b0)的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N.设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ的面积的最大值解(1)由题意，得解得则b2，所以椭

8、圆C的标准方程为1.(2)由题可设直线PA的方程为yk(x4)，k0，则M(0,4k)，所以直线FN的方程为y(x2)，则N.联立消去y并整理，得(12k2)x216k2x32k2160，解得x14，x2，所以P，直线AN的方程为y(x4)，同理可得，Q，所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点所以APQ的面积SOA(yPyQ)28，当且仅当2k，即k时，取等号所以APQ的面积的最大值为8.6已知圆G：x2y22xy0经过椭圆1(ab0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(ma)作倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点(1)求椭圆的方程；(2)若，由消去y，整理得2x22mx(m26)0.由4m28(m26)0，解得2m，m2.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1,2，所以x1x2m，x1x2，y1y2x1x2(x1x2).(x12，y1)，(x22，y2)，(x12)(x22)y1y2x1x2(x1x2)4.又0，即0，解得0m3.又m2，m3.故m的取值范围是(，3)12