江苏专用2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.4空间几何体的表面积与体积教案含解析
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1、8.4空间几何体的表面积与体积考情考向分析考查简单几何体的表面积与体积的计算,涉及空间几何体的结构特征,要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力,以填空题为主,中低档难度1侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱,直棱柱的侧面积公式是S直棱柱侧ch,底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱柱体的体积公式是V柱体Sh.2如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面中心,则该棱锥为正棱锥正棱锥的侧面积公式是S正棱锥侧ch;锥体的体积公式为V锥体Sh.3正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫做正棱台,其侧面积公式是S正棱台侧(cc)h;台体的体积公式是V台体h(SS)4圆柱、圆锥、圆台的侧
2、面展开图分别是矩形、扇形、扇环;圆柱的侧面积公式是S圆柱侧cl2rl,圆锥的侧面积公式为S圆锥侧clrl,圆台的侧面积公式为S圆台侧(cc)l(rr)l.5若球的半径为R,则球的体积VR3,球的表面积S4R2.概念方法微思考1如何求旋转体的表面积?提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面积之和2如何求不规则几何体的体积?提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形,将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差(
3、)(3)锥体的体积等于底面积与高之积()(4)已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a,则Ra.()(5)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2S.()题组二教材改编2P54T2把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为_答案4R解析设圆柱的高为h,则有R2h3R3,h4R.3P49T1已知正三棱柱的底面边长为3cm,侧面的对角线长为3cm,则这个正三棱柱的侧面积是_cm2.答案54解析因为正三棱柱的高为6(cm),所以侧面积为33654(cm2)4P54T3一个正六棱锥的底面边长为6cm,高为5cm,则它的体积为_cm3.答案270解析体积
4、VSh6665270(cm3)题组三易错自纠5体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为_答案12解析由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线为2即为球的直径,所以球的表面积为4R2(2R)212.6已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a,a的矩形,则该圆柱的体积为_答案或解析设圆柱的母线长为l,底面圆的半径为r,则当l2a时,2ra,r,这时V圆柱2a2;当la时,2r2a,r,这时V圆柱a2.综上,该圆柱的体积为或.题型一求空间几何体的表面积1(2018全国改编)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为_
5、答案12解析设圆柱的轴截面的边长为x,则由x28,得x2,S圆柱表2S底S侧2()22212.2若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长都相等,其外接球的表面积是4,则其侧棱长为_答案解析依题意可以构造一个正方体,其体对角线就是该三棱锥外接球的直径设侧棱长为a,外接球的半径为r.由外接球的表面积为4,得r1,a2r2,a.3正六棱台的上、下两底面的边长分别是1cm,2cm,高是1cm,则它的侧面积为_cm2.答案解析正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形,上底长为1cm,下底长为2cm,高为正六棱台的斜高又边长为1cm的正六边形的中心到各边的距离是cm,边长为2cm的正六边形的中心到各边的距离是cm,
6、则梯形的高为(cm),所以正六棱台的侧面积为6(12)(cm2)思维升华求空间几何体表面积的注意点(1)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用题型二求空间几何体的体积例1(1)(2018宿迁模拟)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知ABAA13,点P在棱CC1上,则三棱锥PABA1的体积为_答案解析三棱锥PABA1的体积等于三棱锥BAPA1的体积,点B到面APA1的距离为,APA1的面积为,故三棱锥PABA1的体积为.(2)(2018南京模拟)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB1,BC2,BB13,ABC9
7、0,点D为侧棱BB1上的动点当ADDC1最小时,三棱锥DABC1的体积为_答案解析几何体展开图如图所示:ABDACC1,AB1,BC2,BB13,AC3,CC13,BD1,则121.思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解跟踪训练1(1)(2018江苏南京一中调研)如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成,则该多面体的体积是_答案解析由展开图,可知该多面体是正四棱锥,底面正方形的
8、边长为1,侧棱长也为1,该正四棱锥的高h,其体积V12.(2)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且ADE,BCF均为正三角形,EFAB,EF2,则该多面体的体积为_答案解析如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连结DG,CH,容易求得EGHF,AGGDBHHC,取AD的中点O,连结GO,易得GO,SAGDSBHC1,多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱锥EADGV三棱柱AGDBHC21.(3)如图,正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥AB1DC1的体积为_答案1解析如题图,因
9、为ABC是正三角形,且D为BC中点,则ADBC.又因为BB1平面ABC,AD平面ABC,故BB1AD,且BB1BCB,BB1,BC平面BCC1B1,所以AD平面BCC1B1,所以AD是三棱锥AB1DC1的高所以AD1.题型三表面积和体积的综合问题命题点1侧面展开图的应用例2(1)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB1,BC2,AC,AA13,M为线段BB1上的一动点,则当AMMC1最小时,AMC1的面积为_答案解析将直三棱柱ABCA1B1C1沿棱BB1展开成平面图形,连结AC1到AC1与BB1的交点即满足AMMC1最小,此时AC1,MC12,AM,cosAMC1,sinAMC1,2.(2
10、)(2018无锡期末)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120且面积为3的扇形,则该圆锥的体积等于_答案解析设圆锥侧面母线长为l,底面半径为r,圆锥高h2,V圆锥2.命题点2和球有关的表面积、体积问题例3已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB3,AC4,ABAC,AA112,则球O的半径为_答案解析如图所示,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.又AMBC,OMAA16,所以球O的半径ROA.引申探究1本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”,则此正方体外接球和内切球的体积各是多少?解由题意可知,此正方体的体对角线长即为其外接球的直径,正方体的棱长即为其内切
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