江苏专用2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何微专题三立体几何中的实际应用问题教案含解析

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1、微专题三立体几何中的实际应用问题例1(2018南通、泰州模拟)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为9cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_cm.(不计损耗)答案2解析由题意知，铜质六角螺帽毛坯的体积V460(cm3)设正三棱柱的底面边长为acm，则a2sin60660，解得a2，所以正三棱柱的底面边长为2cm.例2如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切将球取出后，容器内的水深是多少？解铁球取出后，容

2、器内水的体积不变，设球被取出后容器内水深为h，ABC为正三角形，O为ABC的中心，AO13OM3r，注水后圆锥的底面半径O1C3r，球取出后的水深为h，则此时圆锥底面半径为h.球的体积与球被取出后圆锥的体积之和等于注水后圆锥的体积，即r32h23r，解得hr.球取出后，容器内的水深为r.例3现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6m，PO12m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？

3、解(1)由PO12知，O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1am，PO1hm，则0h6，O1O4h.连结O1B1.因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)，于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍)当0h0，V是单调增函数；当2h6时，V0，h0，得0r6，所以V(

4、r)，其定义域为r|0r6因为V(r)，0r6，所以V(r).令V(r)0，解得r6，又0r6，所以r6.当0r0，所以V(r)在(0,6)上单调递增；当6r6时，V(r)0，所以V(r)在(6,6)上单调递减因此当r6时，V(r)取得最大值，故当r为6时，该粮仓下部分(圆柱)的体积最大(2)(2018南京、盐城模拟)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)，一边AB长为6分米，另一边足够长现从中截取矩形ABCD(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中OEMF是以O为圆心、EOF120的扇形，且弧，分别与边BC，AD

5、相切于点M，N.当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？解在图甲中，连结MO交EF于点T.设OEOFOMR，在RtOET中，因为EOTEOF60，所以OT，则MTOMOT.从而BEMT，即R2BE2.故所得柱体的底面积SS扇形OEFSOEFR2R2sin120.又所得柱体的高EG4，所以VSEG4.答当BE长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米设BEx，则R2x，所以所得柱体的底面积SS扇形OEFSOEFR2R2sin120x2.又所得柱体的高EG62x，所以VSEG(x33x2)，其中0x3.令f(x)x33x2，x(0,3)，则由f(x)3x26x3x(x2)0，解得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(0,2)2(2,3)f(x)0f(x)极大值所以当x2时，f(x)取得极大值，也是最大值答当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大5