鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数教案含解析

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1、4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义1角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S|k360，kZ(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧

2、度的角，用符号rad表示，读作弧度正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180rad,1rad，1rad.(3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：Slr|r2.3任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则siny，cosx，tan(x0)三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinRcosRtan|k，kZ4.三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段M

3、P为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线概念方法微思考1总结一下三角函数值在各象限的符号规律提示一全正、二正弦、三正切、四余弦2三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，怎样定义角的三角函数？提示设点P到原点O的距离为r，则sin，cos，tan(x0)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)若为第一象限角，则sincos1.()题组二教材改编2角225弧度，这个角在第象限答案二3若角的终边经过

4、点Q，则sin，cos.答案4一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为弧度答案题组三易错自纠5集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k2n(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1 (nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样，故选C.6已知点P在角的终边上，且0,2)，则的值为()A.B.C.D.答案C解析因为点P在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan，又，所以.7在0到2范围内，与角终边相同的角是答案解析与角终边相同的角是2k(kZ)，令k1，可得与角终边相同的角是.8(2018济宁模拟)函数y的定义域为答案(kZ)解析2cosx10，

5、cosx.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x(kZ)题型一角及其表示1下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)答案C解析与角的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确2设集合M，N，那么()AMNBMNCNMDMN答案B解析由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN，故选B.3(2018宁夏质检)终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为答案解析如图，在坐标系中

6、画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0,2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为.4若角是第二象限角，则是第象限角答案一或三解析是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角综上，是第一或第三象限角思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kZ)赋值来求得所需的角(2)确定k，(kN*)的终边位置的方法先写出k或的范围，然后根据k的可能取值确定k或的终边所在位置题型二弧度制及其应用例1已知

7、一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.若，R10cm，求扇形的面积解由已知得，R10cm，S扇形R2102(cm2)引申探究1若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积解lR10(cm)，S弓形S扇形S三角形lRR2sin10102(cm2)2若例题条件改为：“若扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l2R20，则l202R(0R10)所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5cm时，S取得最大值25cm2，此时l10cm，2rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度

8、(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形跟踪训练1(1)(2018湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.B.C3D.答案D解析如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角AOB，作OMAB，垂足为M，在RtAOM中，AOr，AOM，AMr，ABr，lr，由弧长公式得.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为答案解析设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为，由扇形面积等于圆面

9、积的，可得，解得.所以扇形的弧长与圆周长之比为.题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用例2(1)(2018青岛模拟)已知角的终边与单位圆的交点为P，则sintan等于()ABCD答案C解析由OP2y21，得y2，y.当y时，sin，tan，此时，sintan.当y时，sin，tan，此时，sintan.所以sintan.(2)设是第三象限角，且cos，则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角答案B解析由是第三象限角知，为第二或第四象限角，cos，cos0，综上可知，为第二象限角命题点2三角函数线例3(1)满足cos的角的集合是答案解析作直线x交单位圆于C，D两点，连接O

10、C，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.(2)若，从单位圆中的三角函数线观察sin，cos，tan的大小关系是答案sincostan解析如图，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sincos0时，sin，cos，sincos；mcosx成立的x的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析当x时，sinx0，cosx0，显然sinxcosx成立；当x时，如图，OA为x的终边，此时sinx|MA|，cosx|OM|，sinxcosx；当x时，如图，OB为x的终边，此时sinx|NB|，cosx|ON|，sinxcosx同理当x时，si

11、nxcosx；当x时，sinxcosx，故选C.1下列说法中正确的是()A第一象限角一定不是负角B不相等的角，它们的终边必不相同C钝角一定是第二象限角D终边与始边均相同的两个角一定相等答案C解析因为33036030，所以330角是第一象限角，且是负角，所以A错误；同理330角和30角不相等，但它们终边相同，所以B错误；因为钝角的取值范围为(90，180)，所以C正确；0角和360角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误2已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1B4C1或4D2或4答案C解析设扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而4或1.3(2018石家庄调研)已知角

12、的终边经过点P(4，m)，且sin，则m等于()A3B3C.D3答案B解析sin，且m0，解得m3.4点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A.B.C.D.答案A解析点P旋转的弧度数也为，由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足xcos，ysin.5若sincos0，sincos0，sin0，cos0或sin0，cos0，cos0时，为第一象限角，当sin0，cos0时，为第三象限角sincos0，cos30，sin2cos3tan40.7已知角的终边过点P(8m，6sin30)，且cos，则m的值为()ABC.D.答案C解析由题意得点P(8m，3)，r

13、，所以cos，解得m，又cos0，所以8m0，所以m.8给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sinsin，则与的终边相同；若cos0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1B2C3D4答案A解析举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sinsin，但与的终边不相同，故错；当cos1，时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错综上可知，只有正确9若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，

14、则其圆心角的弧度数是答案解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，正方形边长为r，圆心角的弧度数是.10若角的终边与直线y3x重合，且sin0，又P(m，n)是角终边上一点，且|OP|，则mn.答案2解析由已知tan3，n3m，又m2n210，m21.又sin0，m1，n3.故mn2.11已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为答案解析由题意知，点P，r1，所以点P在第四象限，根据三角函数的定义得cossin，故2k(kZ)，所以的最小正值为.12函数y的定义域为答案，kZ解析利用三角函数线(如图)，由sinx，可知2kx2k，kZ.13已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不

15、包括边界)，则角用集合可表示为答案解析在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所求角的集合为.14若角的终边落在直线yx上，角的终边与单位圆交于点，且sincos0，则cossin.答案解析由角的终边与单位圆交于点，得cos，又由sincos0知，sin0，因为角的终边落在直线yx上，所以角只能是第三象限角记P为角的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x0，y0)，则|OP|1(O为坐标原点)，即x2y21，又由yx得x，y，所以cosx，因为点在单位圆上，所以2m21，解得m，所以sin，所以cossin.15九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的

16、经验公式，即弧田面积(弦矢矢2)弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为3米的弧田，如图2所示按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是平方米(结果保留整数，1.73)答案5解析如题图2，由题意可得AOB，OA3，所以在RtAOD中，AOD，DAO，ODAO3，可得CD3，由ADAOsin3，可得AB2AD3.所以弧田面积S(弦矢矢2)5(平方米)16如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，BOA60.质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动(1)求经过1s后，BOA的弧度；(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间解(1)经过1s后，质点A运动1rad，质点B运动2rad，此时BOA的弧度为3.(2)设经过t s后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(12)2，解得t，即经过s后质点A，B在单位圆上第一次相遇15