鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形微专题五三角函数问题的多解探究教案含解析

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1、微专题五三角函数问题的多解探究解题技法三角函数是高中数学的重要内容，是每年高考的必考知识点，也是与其它知识交汇频率较高的知识点，它与数列、向量、方程、不等式、解析几何等知识紧密联系，历来倍受各级各类命题者的青睐题目已知3cosx4sinx5，求tanx的值解方法一构造方程由3cosx4sinx5两边平方，得9cos2x24sinxcosx16sin2x25.而2525(sin2xcos2x)，所以上式可整理为9sin2x24sinxcosx16cos2x0.即(3sinx4cosx)20.所以3sinx4cosx0，解得tanx.方法二构造方程组由消去cosx，整理得(5sinx4)20.解得

2、sinx，cosx.故tanx.方法三构造辅助角由3cos x4sin x55sin(x)5，其中cos ，sin .所以tan .所以x2k(kZ)，于是tanxtancot.方法四代数换元令tanxt，即tcosxsinx，代入3cosx4sinx5，得3cosx4tcosx5，cosx，sinx.再代入sin2xcos2x1，得221.解得t，即tanx.方法五运用三角函数定义设P(m，n)为角x终边上任意一点，P点到原点O的距离为r，则r.把sinx，cosx代入已知等式得345.即(3m4n)2(5r)225(m2n2)整理得(4m3n)20.所以4m3n，显然m0.故tanx.方法

3、六构造直线斜率由3cosx4sinx5可知点A(cosx，sinx)在直线3x4y5上，同时也在单位圆x2y21上，所以点A为直线与单位圆的切点由于直线的斜率为，所以OA的斜率为，即tanx.方法七构造单位圆因为3cosx4sinx5，即cosxsinx1.设A(cosx，sinx)，B，则点A，B均在单位圆x2y21上所以过B点的切线方程为xy1.可知点A(cosx，sinx)也在切线xy1上，从而点A也是切点，由切点的唯一性也可知A，B两点重合，所以cosx，sinx，即tanx.方法八构造平面向量因为cosxsinx1，不妨令m(cosx，sinx)，n，可知|m|1，|n|1.所以m，n均为单位向量，且mn1.由|m|n|mn|，等号成立的条件为：mn，则有cosxsinx，即tanx.3