鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量与复数微专题六向量中数量积的最值教案含解析

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1、微专题六向量中数量积的最值经验分享在平面向量的问题中，存在一种“以平面图形为载体的有关数量积的最大值问题”，通过对该类问题的多解探究，进一步提高分析、解决此类问题的能力题目(2018南通调研)如图1，已知AC2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BMBN，则的最大值为_答案解析方法一由题设可知ABBCBN1.因为点M在以AB为直径的半圆上，所以AMBM，又BMBN，所以AMBN，若设MAB，则NBC.如题图2，建立平面直角坐标系xBy，则点A(1,0)，M(sin2，sincos)，C(1,0)，N(cos，sin)，所

2、以(sin21，sincos)(cos2，sincos)，(cos1，sin)于是，cos2(cos1)sin2coscos3cos2(1cos2)coscos2cos2.又易知00)，则因为BMBN，所以直线BM的方程为yx.注意到点N是直线BN与以AC为直径的半圆的交点，所以将ykx与x2y21联立，可求得点N的坐标为.注意到点M是直线BM与以AB为直径的半圆的交点，所以将yx与2y2联立，可求得点M的坐标为.又点A(1,0)，C(1,0)，所以向量，所以2，故当，即k时，可得的最大值为.评注上述求解过程的关键是引入参数k(直线BN的斜率)，并借助直线和圆的方程，灵活求解点M，N的坐标，整

3、个求解过程显然比方法一增加了许多运算量方法三由题设可知ABBCBN1，因为点M在以AB为直径的半圆上，所以AMBM，又BMBN，所以AMBN，所以|1cos0|.因为AMBM，AB1，所以|1cosMABcosMAB，所以|1cosMAB|2.于是，()|22.又0|1，所以，当|时，可得的最大值为.评注上述求解过程的关键是充分利用平面向量的数量积公式ab|a|b|cos，将目标问题等价转化为求解关于“|”的二次函数在区间(0,1)上的最大值方法四如图3，分别延长AM，CN，设其交点为E，并设ME与大半圆的交点为D，连接CD，则易知AMMB，ADDC，所以BMCD，又B为AC的中点，图3所以M

4、为AD的中点，所以.又易知，且B为AC的中点，所以N为CE的中点，所以.于是，()0|cos0|.因为BN为ACE的中位线，所以|2|2.从而，|22，当且仅当|，即D为AE的中点时不等式取等号故所求的最大值为.评注上述求解过程的关键是巧作辅助线，充分利用相关平面几何知识，先获得和，然后再综合利用向量的几何意义、数量积运算、三角形中位线性质定理以及基本不等式的变形式“ab2”加以灵活求解方法五如图4，以BC为直径画半圆，交BN于点D，连接CD，则BDCD.又易知AMBD，且AMBD，所以图4()0|cos0|22，当且仅当|，即D为BN中点时不等式取等号故所求的最大值为.评注上述求解过程的关键是巧作“半圆”，先将目标问题等价转化为求|的最大值，再灵活利用基本不等式的变形巧求最大值显然，该解法最简单，故值得我们细细品味、深思！综上，不同的思维切入点，往往可获得不同的解题体验，真可谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，需要我们在学中“悟”，在“悟”中不断提升解题技巧4