鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用微专题三高考真题的再研究教案含解析

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1、微专题三高考真题的再研究真题研究普通高中数学课程标准要求：高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力考试大纲指出：高考对能力的考查，强调“以能力立意”.2018年全国卷第16题就是一个典型例子本文从不同角度，开拓思路，分析解答，充分挖掘高考题的教学指导功能，再现命题的能力立意，以期提高教学实效性一、试题呈现题目(2018全国)已知函数f(x)2sinxsin2x，则f(x)的最小值是_二、分析解答分析1此题中的函数是将正弦函数两次变换相加而得，第一次纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变；第二次横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变这个加号有份量，依靠常规的三角运算和方法作答有困难因此，首先考虑“万能”

2、的导数，找到极值点，求出全部极值，最后取最小的极值作最小值方法一f(x)2cosx2cos2x，由f(x)0得，2cos2xcosx10，解得cosx或cosx1.所以sinx或sinx或sinx0.当sinx，cosx时，f(x)；当sinx，cosx时，f(x)；当sinx0，cosx1时，f(x)0.由三角函数的连续性和有界性，结合极值的概念得f(x)min.分析2从周期的角度考虑，可以判断本函数的周期为2.用函数在0,2内的最小值作为函数的最小值整体不易突破，可从局部入手，结合图象变换知，最小值出现在之内，此时可以统一角和三角函数名称，换元后将问题转化成求高次函数的最值方法二由y2si

3、nx的最小正周期为2，ysin2x的最小正周期为，由最小公倍数法知，f(x)的最小正周期为2.下面在(0,2)内研究本函数：当x时，y2sinx0，ysin2x0；当x时，y2sinx0，ysin2x0；当x时，y2sinx0；当x时，y2sinx0，ysin2x0.因此，f(x)的最小值出现在之内，此时f(x)2sinx(1cosx)，进而f(x)2(1cosx)22，令tcosx，x，g(x)t42t32t1，t0,1利用导数可以证明，g(x)g.所以f(x)2.因此，f(x)min.分析3本题基本背景是三角函数，那么对于角的处理极为重要本题中可以考虑用同角三角函数的平方关系、二倍角、扩角

4、降幂等知识处理函数，从方法二可以发现最后的函数形式还是稍微有些复杂我们可以再做角的文章，以期简化函数，方便解答方法三结合方法二，f(x)的最小值出现在之内此时，f(x)2sinx(1cosx)4sincos2cos28sincos38cos38.令t，则t.h(t)t6t8，t.利用导数可以证明，h(t)h.所以f(x)8.因此，f(x)min.评注从以上方法探究可以发现，本题以三角函数为背景，应用导数，综合考查了三角函数和导数的知识和技能，对学生的能力要求还是较高的，若死盯着三角函数，仅依靠三角函数的知识、方法，甚至是技巧都是无济于事的这正是本题命题意图，希望有扎实的功底，严谨的推理，缜密的

5、思维等能力对于靠刷题应对高考而言，此题显得举步维艰本题若变形成：“已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_”就会感觉舒坦多了但是，能力就体现在创新之中分析4一道好的高考试题，往往入口宽敞，通道较多从方法三知f(x)8sincos3，本函数显然是奇函数，由最大值可得到最小值在函数两边平方后，利用基本不等式求解也是一种行之有效的办法方法四由方法三得f(x)8sincos3.两边平方得f2(x)64sin2cos63sin2cos2cos2cos244.所以f(x).因此，f(x)max.易判定本函数为奇函数，所以f(x)min.评注这种做法看起来很简单，但是它有三个关键点：一是能否联想到同角三角函数平方关系后在函数两边平方；二是多项均值不等式是否深刻理解并能应用；三是能否恰当应用奇函数的对称性这三点对学生还是有较高的能力要求，很难顺利推进本方法也得到了函数值域y.4