鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用高考专题突破一高考中的导数应用问题第2课时导数与方程教案含解析

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1、第2课时导数与方程题型一求函数零点个数例1设函数f(x)x2mlnx，g(x)x2(m1)x，当m1时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数解令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmlnx，x0，问题等价于求函数F(x)的零点个数F(x)，当m1时，F(x)0，函数F(x)为减函数，注意到F(1)0，F(4)ln41时，若0xm，则F(x)0；若1x0，所以函数F(x)在(0,1)和(m，)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到F(1)m0，F(2m2)mln(2m2)0)，则h(x).易知h(1)0，当0x0，当x1时，h(x)0，函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递

2、减，h(x)maxh(1)1m.当1m0，即m1时，函数h(x)只有一个零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，)上只有1个交点；当1m1时，函数h(x)没有零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，)上没有交点；当1m0，即m1时，当x0时，h(x)，当x时，h(x)m，若m0，即m，函数h(x)有一个零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，)上有一个交点，当m0，即m1时，f(x)与g(x)在(0，)上没有交点；当m1或m时，f(x)与g(x)在(0，)上有1个交点；当m1时，f(x)与g(x)在(0，)上有2个交点题型二根据函数零点情况求参数范围例2(2018九江模拟)已知函数

3、f(x)2lnxx2ax(aR)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围解g(x)2lnxx2m，则g(x)2x.因为x，所以当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，所以g(x)在上的最小值是g(e)g(x)在上有两个零点的条件是解得10)，所以h(x)1.所以x在上变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下：x1(1，e)h(x)0h(x)极小值又h3e2，h(1)4，h(e)e2.且h(e)h42e0.所以h(x)minh(1)4，h(x)maxh3e2

4、，所以实数a的取值范围为40，解得xe2，令f(x)0，解得0x时，f(x)min0，f(x)无零点，当a时，f(x)min0，f(x)有1个零点，当a时，f(x)min0，解得x1，令f(x)0，解得0x1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)F(x)f(x)3，由(1)得x1，x2，满足0x110可得x2或x1，由f(x)0可得1x2，所以函数f(x)在(，1)，(2，)上是增函数，在(1,2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(1)c，极小值为f(2)c.而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得c0，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)内单调

5、递减，在(1，)内单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点设a0，因此f(x)在(1，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点若a1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)5已知函数f(x)(3a)x2lnxa3在上无零点，求实数a的取值范围解当x从0的右侧趋近于0时，f(x)，所以f(x)0恒成立，即只需当x时，a3恒成立令h(x)3，x，则h(x)，再令m(x

6、)2lnx2，x，则m(x)m64ln20，所以h(x)0在上恒成立，所以h(x)在上为增函数，所以h(x)h在上恒成立又h3ln2，所以a3ln2，故实数a的取值范围是.6已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x20，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点设a0，因此f(x)在(1，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点若a1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)(2)证明不妨设x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)内单调递减，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1时，g(x)1时，g(x)0.从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.8