鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用微专题二导数中的函数构造问题教案含解析

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1、微专题二导数中的函数构造问题解题技法函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现一、利用f(x)进行抽象函数构造(一)利用f(x)与x构造1常用构造形式有xf(x)，这类形式是对uv，型函数导数计算的推广及应用我们对uv，的导函数观察可得知，uv型导函数中体现的是“”法，型导函数中体现的是“”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造uv型，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造.例1设f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xf(x)0的解集为_思路点拨出现“”形式，优先构造F(x

2、)xf(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可答案(，4)(0,4)解析构造F(x)xf(x)，则F(x)f(x)xf(x)，当x0时，f(x)xf(x)0，可以推出当x0时，F(x)0的解集为(，4)(0,4)例2设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)0，当x0恒成立，则不等式f(x)0的解集为_思路点拨出现“”形式，优先构造F(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可答案(，1)(1，)解析构造F(x)，则F(x)，当x0，可以推出当x0，F(x)在(，0)上单调递增f(x)为偶函数，x为奇函数，所以F(x)为奇函数，F(x)在(0，)上也单调递增根据f(1)

3、0可得F(1)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)0的解集为(，1)(1，)2xf(x)，是比较简单常见的f(x)与x之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式F(x)xnf(x)，F(x)nxn1f(x)xnf(x)xn1nf(x)xf(x)；F(x)，F(x)；结论：(1)出现nf(x)xf(x)形式，构造函数F(x)xnf(x)；(2)出现xf(x)nf(x)形式，构造函数F(x).我们根据得出的结论去解决例3.例3已知偶函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，且满足f(1)0，当x0时，2f(x)xf(x)

4、，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_思路点拨满足“xf(x)nf(x)”形式，优先构造F(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可答案(1,0)(0,1)解析构造F(x)，则F(x)，当x0时，xf(x)2f(x)0时，F(x)0的解集为(1,0)(0,1)(二)利用f(x)与ex构造1f(x)与ex构造，一方面是对uv，函数形式的考察，另外一方面是对(ex)ex的考察所以对于f(x)f(x)类型，我们可以等同xf(x)，的类型处理，“”法优先考虑构造F(x)f(x)ex，“”法优先考虑构造F(x).例4已知f(x)是定义在(，)上的函数，导函数f(x)满足f(x)e2f(0)

5、，f(2019)e2019f(0)Bf(2)e2019f(0)Cf(2)e2f(0)，f(2019)e2019f(0)Df(2)e2f(0)，f(2019)e2019f(0)思路点拨满足“f(x)f(x)0”形式，优先构造F(x)，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可注意选项的转化答案D解析构造F(x)形式，则F(x)，导函数f(x)满足f(x)f(x)，则F(x)0，f(0)1，则不等式f(x)e2x的解集为_思路点拨满足“f(x)2f(x)0”形式，优先构造F(x)，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可注意选项的转化答案x|x0解析构造F(x)形式，则F(x)，函数f(x)满足f(x)

6、2f(x)0，则F(x)0，F(x)在R上单调递增又f(0)1，则F(0)1，f(x)e2x1F(x)F(0)，根据单调性得x0.例6已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，若f(x)满足：(x1)f(x)f(x)0，f(2x)f(x)e22x，则下列判断一定正确的是()Af(1)e2f(0)Cf(3)e3f(0) Df(4)0，则x1时F(x)0，F(x)在1，)上单调递增当x1时F(x)0(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是()A.ffB.ffCf(0)fDf(0)0”形式，优先构造F(x)，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可注意选项的转化答案A解析构

7、造F(x)形式，则F(x)，导函数f(x)满足f(x)cosxf(x)sinx0，则F(x)0，F(x)在上单调递增把选项转化后可知选A.二、具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题例8已知，且sinsin0，则下列结论正确的是()AB22C0思路点拨构造函数f(x)xsin x，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可答案B解析构造f(x)xsinx形式，则f(x)sinxxcosx，x时导函数f(x)0，f(x)单调递增；x时导函数f(x)0，f(x)单调递减又f(x)为偶函数，根据单调性和图象可知选B.例9已知实数a，b，c满足1，其中e是自然对数的底数，那么(ac)2(bd)2的最小值为()A8B10C12D18思路点拨把(ac)2(bd)2看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可答案A解析由1ba2ea进而f(x)x2ex；又由1d2cg(x)2x；由f(x)12ex1，得x0，所以切点坐标为(0，2)，所以(ac)2(bd)2的最小值为28.5