鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12.3离散型随机变量的分布列及均值方差教案含解析
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1、12.3离散型随机变量的分布列及均值、方差最新考纲1.在对具体问题的分析中,理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列对于刻画随机现象的重要性.2.通过实例(如彩票抽奖),理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.3.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的概念能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题1离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量(2)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i1,2,n)的概率P(Xxi)pi,则
2、称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,具有如下性质:pi0,i1,2,n;i1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和2两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1pp其中0p1,则称离散型随机变量X服从两点分布其中pP(X1)称为成功概率3离散型随机变量的均值与方差一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差,
3、它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,并称其算术平方根为随机变量X的标准差4均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a,b为常数)5超几何分布一般地,设有N件产品,其中有M(MN)件次品从中任取n(nN)件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么P(Xk) (k0,1,2,m),即X01mP其中mminM,n,且nN,MN,n,M,NN*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布概念方法微思考1离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是什么?提示代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示
4、的2如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确?提示可用pi0,i1,2,n及p1p2pn1检验3随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的?提示随机变量的均值、方差是一个常数,样本均值、方差是一个随机变量,随观测次数的增加或样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量()(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布()(4)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个
5、值的概率之和可以小于1.()(5)随机变量的均值是常数,样本的平均数是随机变量,它不确定()(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量的平均程度越小()题组二教材改编2设随机变量X的分布列如下:X12345Pp则p为()A.B.C.D.答案C解析由分布列的性质知,p1,p1.3已知X的分布列为X101P设Y2X3,则E(Y)的值为()A.B4C1D1答案A解析E(X),E(Y)E(2X3)2E(X)33.4有一批产品共12件,其中次品3件,每次从中任取一件,在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是_答案0,1,2,3解析因为次品共有3
6、件,所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.题组三易错自纠5袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个,可以作为随机变量的是()A至少取到1个白球B至多取到1个白球C取到白球的个数D取到的球的个数答案C解析选项A,B表述的都是随机事件;选项D是确定的值2,并不随机;选项C是随机变量,可能取值为0,1,2.6一盒中有12个乒乓球,其中9个新的、3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X4)的值为_答案解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球,故P(X4).题型一分布列的求法例1设某人有5发子弹,当他向某一目标射击时,每发子弹
7、命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击,否则将子弹打完(1)求他前两发子弹只命中一发的概率;(2)求他所耗用的子弹数X的分布列解记“第k发子弹命中目标”为事件Ak,则A1,A2,A3,A4,A5相互独立,且P(Ak),P(k),k1,2,3,4,5.(1)方法一他前两发子弹只命中一发的概率为P(A12)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2).方法二由独立重复试验的概率计算公式知,他前两发子弹只命中一发的概率为PC.(2)X的所有可能值为2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(12),P(X3)P(A123)P(1A2A3)22,P(X4)P(A12A3A4)P
8、(1A234)33,P(X5)P(A12A34)P(1A23A4)2222.故X的分布列为X2345P思维升华求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识跟踪训练1已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测
9、出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A).(2)X的可能取值为200,300,400.P(X200),P(X300),P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400P题型二均值与方差例2 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和;项目二:通信设备据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50
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