鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ微专题一多元变量的最值问题教案含解析

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1、微专题一多元变量的最值问题经验分享在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题因此，解决多元变量的最值问题，减元是常见的办法一、代入减元例1设x，yR，且2x8yxy0，求xy的最小值解由2x8yxy0得y，因为x，yR，所以x8，所以xyxxx2(x8)1021018，当且仅当x8，即x12时，取“”号所以，当x12，y6时，xy取得最小值18.点评此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解法，但可能是学生比较容易想到的解法它的优点是由前面的

2、等式可以得到y，代入xy中，从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题的目的二、等量减元例2设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0B1C.D3答案B解析由已知得zx23xy4y2(*)则1，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211.点评此题是2013年山东高考理科第12题，作为选择题压轴题，其难度在于如何寻求多元变量x，y，z之间的关系，进而达到减元的目的其实，由变到就已经应用到了代入消元，再由变到仍然用到了整体消元的思想(把当做整体)，从而寻求到了取最大值时变量x，y，z之间的关系最后由变到应用到了x，y，z之间的等量关系进

3、行减元，从而达到求出最值的目的这是一道典型的利用减元的方法求多元变量最值的例题三、换元减元例3已知，不等式2sincossincosm10恒成立，求实数m的取值范围解原问题等价于：当时，不等式m2sincossincos1恒成立令y2sincossincos1，即求函数的最小值令tsincossin，因为，所以，所以t1，又2sincost21，所以yt21t12，当t1(即0)时，ymin2.故m2.点评此题中的sin cos ，sin cos 若不加处理难以将变量统一起来但是，观察到sin cos 与sin cos 的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起来，达到减元的目的四、整体减元例4

4、已知函数f(x)xlnxx2xa(aR)在其定义域内有两个不同的极值点(1)求a的取值范围；(2)设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1x2e2.解(1)0ax20，则由以上两式分别相加和相减得：ln(x1x2)a(x1x2)，lna(x1x2)消去a得ln(x1x2)ln.又因为要证x1x2e2成立，故只需证ln(x1x2)2，即只需证ln2，即证ln2，即只需证ln2，令t1，则上式为lnt2.构造函数g(t)lnt2(t1)，则g(t)0，所以函数g(t)在(1，)上单调递增，所以g(t)g(1)0，即不等式lnt2成立故x1x2e2.点评此题属于难题由证明的结论可知，结论中没有参数a，故首先需要先消掉参数a.故由ln x1ax1，ln x2ax2变形后再消去a，但是也不能就这两个式子简单地消掉a，只有这样才能有后面的将当做整体进行减元的构造，从而达到解决问题的目的，这也是解决此题的艺术精华所在以上几题均是求多元变量的最值问题，可以发现这类问题的基本策略是减元，进而利用单元函数求最值，从而达到解题的目的可见，减元是解决这类多元最值问题的一把利器3