鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.1空间几何体的结构表面积与体积教案含解析

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1、8.1空间几何体的结构、表面积与体积最新考纲1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)1空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.圆柱、圆锥

2、、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VS底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VS底h台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3概念方法微思考1底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗？为什么？提示不一定因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱2如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“

3、”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分()(4)锥体的体积等于底面积与高之积()(5)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则Ra.()(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()题组二教材改编2已知圆锥的表面积等于12cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1cmB2cmC3cmD.cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2.3在如图所示的几何体中，是棱柱的为_(填写所

4、有正确的序号)答案题组三易错自纠4体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12B.C8D4答案A解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4R2(2R)212，故选A.5.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_答案147解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1abcabc，剩下的几何体的体积V2abcabcabc，所以V1V2147.题型一空间几何体的结构特征1以下命题：以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋

5、转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为()A0B1C2D3答案B解析由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误，正确对于命题，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确2给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为_(填序号)答案解析对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不

6、是矩形，则错；由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故正确综上，命题不正确思维升华空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析题型二空间几何体的表面积与体积命题点1空间几何体的表面积例1(2018全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12B12C8D10答案B解析设圆柱的轴截面的边长为x，则由x28，得x2，S圆柱表2S底S侧2()22212.故选B.命

7、题点2求简单几何体的体积例2如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A3B.C1D.答案C解析如题图，因为ABC是正三角形，且D为BC中点，则ADBC.又因为BB1平面ABC，AD平面ABC，故BB1AD，且BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1，所以AD是三棱锥AB1DC1的高所以V三棱锥AB1DC1SB1DC1AD1.思维升华空间几何体表面积、体积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)体积可用公式法、转换

8、法、分割法、补形法等求解跟踪训练1如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥DA1BC的体积是_答案解析VDA1BCVB1A1BCVA1B1BCSB1BC.题型三与球有关的切、接问题例3已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A.B2C.D3答案C解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA.引申探究1本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线

9、长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而V外接球R3(2)332，V内切球r323.2本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.3本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为36，高为3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外

10、接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心(2)“接”的处理抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径跟踪训练2(2018全国)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12B18C24D54答案B解析由等边ABC的面积为9，可得AB29，所以AB6，所以等边ABC的外接圆的半径为rAB2.设球的半径为R，球心到等边ABC的外接圆圆心的距离为d，则d2.所以三棱锥DABC高的最大值为246，所以三棱锥D

11、ABC体积的最大值为9618.1将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括()A一个圆台、两个圆锥B两个圆台、一个圆柱C两个圆柱、一个圆台D一个圆柱、两个圆锥答案D解析从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图：2用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为()A32B.C.D.答案B解析若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为，

12、其轴截面的面积为.3(2018辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是()A圆面B矩形面C梯形面D椭圆面或部分椭圆面答案C解析将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.4棱长为a的正四面体的表面积是()A.a2B.a2C.a2D.a2答案D解析棱长为a的正四面体的四个面都是正三角形，正四面体的表面积是4a2a2.5(2019江西重点中学联考)算术书竹简于上世纪八十

13、年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式Vl2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，那么，近似公式Vl2h相当于将圆锥体积公式中的近似取()A.B.C.D.答案C解析Vr2h2hl2h，由，得，故选C.6(2018四川棠湖中学月考)用一个平面去截正方体，则截面不可能是()A直角三角形B等边三角形C正方形D正六边形答案A解析用一个平面去截正方体，则截面的情况为：截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角

14、三角形、直角三角形；截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；截面为五边形时，不可能是正五边形；截面为六边形时，可以是正六边形7给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体其中正确命题的序号是_答案解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行

15、于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形8如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则_.答案解析由水面高度升高r，得圆柱体积增加了R2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3R2r.故.9一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_答案12解析设六棱锥的高为h，则VSh，所以46h2，解得h1.设六棱锥的斜高为h，则h2()2h2，故h2.所以该六棱锥的侧面积为22612.10(2017全国)长方体的长、宽、高分别为3,

16、2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_答案14解析长方体的顶点都在球O的球面上，长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径设球的半径为R，则2R.球O的表面积为S4R24214.11若圆锥的表面积是15，侧面展开图的圆心角是60，求圆锥的体积解设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2rl，得l6r.又S锥r2r6r7r215，得r，圆锥的高hr5，Vr2h5.12若E，F是三棱柱ABCA1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1ECF，三棱柱的体积为m，求四棱锥ABEFC的体积解如图所示，连接AB1，AC1.因为B1ECF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积又四棱锥ABEF

17、C的高与四棱锥AB1EFC1的高相等，所以VABEFC又h，hm，所以，所以，所以VABEFC，即四棱锥ABEFC的体积是.13已知边长为a的菱形ABCD中，ABC60，将该菱形沿对角线AC折起，使BDa，则三棱锥DABC的体积为()A.B.C.D.答案D解析在边长为a的菱形ABCD中，ABC60，将该菱形沿对角线AC折起，使BDa，则三棱锥DABC为正四面体，D在底面的射影为正三角形的中心O，hOD，所以三棱锥DABC的体积为VSh.14.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处若该小虫爬行的最短路程为4m，则圆锥底

18、面圆的半径等于_m.答案1解析把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP4，PP4，则cosPOP0，且POP是三角形的内角，所以POP.设底面圆的半径为r，则2r4，所以r1.15已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB18，BC24，AC30，求球的表面积和体积解因为ABBCAC182430345，所以ABC是直角三角形，B90.又球心O在截面ABC上的投影O为截面圆的圆心，也即是RtABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆O的直径(如图所示)，设OCr，OCR，则球半径为R，截面圆半径为r，在RtOCO中，由题设知sinOCO，所以OCO30，

19、所以cos30，即Rr，(*)又2rAC30r15，代入(*)得R10.所以球的表面积为S4R24(10)21200.球的体积为VR3(10)34000.16.如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB4，EB2.(1)求证：DE平面ACD；(2)设ACx，V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值(1)证明四边形DCBE为平行四边形，CDBE，BCDE.DC平面ABC，BC平面ABC，DCBC.AB是圆O的直径，BCAC，且DCACC，DC，AC平面ADC，BC平面ADC.DEBC，DE平面ADC.(2)解DC平面ABC，DCBE，BE平面ABC.在RtABE中，AB4，EB2.在RtABC中，ACx，BC(0x4)，SABCACBCx，V(x)V三棱锥EABCx(0x4)x2(16x2)264，当且仅当x216x2，即x2时取等号，当x2时，体积有最大值.14