鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.5空间向量及其运算教案含解析
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1、8.5空间向量及其运算最新考纲1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0
2、)共线的充要条件是存在实数,使得ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式:pxayb,其中x,yR,a,b为不共线向量(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z,使得pxaybzc,a,b,c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作a,b,则AOB叫做向量a,b的夹角,记作a,b,其范围是0a,b,若a,b,则称a与b互相垂直,记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则|a|b|cosa,b叫做向量a,b的数量积,记作ab,即ab|a|b
3、|cosa,b(2)空间向量数量积的运算律(a)b(ab);交换律:abba;分配律:a(bc)abac.4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0,R)a1b1,a2b2,a3b3垂直ab0(a0,b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a,b(a0,b0)cosa,b概念方法微思考1共线向量与共面向量相同吗?提示不相同平行于同一平面的向量就为共面向量2零向量能作为基向量吗?提示不能由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故零向量不能作为基向量3空间向量的坐标运算与坐标原
4、点的位置选取有关吗?提示无关这是因为一个确定的几何体,其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的,坐标系的位置不同,只会影响其计算的繁简,不会影响结果题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两个非零向量a,b共面()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)()(3)对于非零向量b,由abbc,则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()(5)若A,B,C,D是空间任意四点,则有0.()(6)若ab0,则a,b是钝角()题组二教材改编2如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点若a,b,c,则下列向
5、量中与相等的向量是()AabcB.abcCabcD.abc答案A解析()c(ba)abc.3正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为_答案解析|22()22222()1222122(12cos120021cos120)2,|,EF的长为.题组三易错自纠4在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(2,1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是()A垂直B平行C异面D相交但不垂直答案B解析由题意得,(3,3,3),(1,1,1),3,与共线,又AB与CD没有公共点,ABCD.5已知a(2,3,1),b(4,2,x),且ab,则|b|
6、_.答案2解析ab,ab2(4)321x0,x2,|b|2.6O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且t,若P,A,B,C四点共面,则实数t_.答案解析P,A,B,C四点共面,t1,t.题型一空间向量的线性运算例1如图所示,在空间几何体ABCDA1B1C1D1中,各面为平行四边形,设a,b,c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1);(2).解(1)因为P是C1D1的中点,所以aacacb.(2)因为M是AA1的中点,所以aabc.又ca,所以abc.思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形(2)将已知向量和所求向量
7、转化到三角形或平行四边形中(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来跟踪训练1(1)如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC的中点用,表示,则_.答案解析(),().(2)如图,在三棱锥OABC中,M,N分别是AB,OC的中点,设a,b,c,用a,b,c表示,则等于()A.(abc)B.(abc)C.(abc)D.(abc)答案B解析()()(abc)题型二共线定理、共面定理的应用例2如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)求证:BD平面EFGH.证明(1)连接BG,则(),
8、由共面向量定理的推论知E,F,G,H四点共面(2)因为(),所以EHBD.又EH平面EFGH,BD平面EFGH,所以BD平面EFGH.思维升华证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P,A,B)共线空间四点(M,P,A,B)共面且同过点Pxy对空间任一点O,t对空间任一点O,xy对空间任一点O,x(1x)对空间任一点O,xy(1xy)跟踪训练2如图所示,已知斜三棱柱ABCA1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足k,k(0k1)(1)向量是否与向量,共面?(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?解(1)k,k,kkk()k()kkk()(1k)k,由共面向量定理知向量与向量,共面(
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