鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量微专题十立体几何中探索性问题的研究教案含解析

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1、微专题十立体几何中探索性问题的研究追根溯源高考中的立体几何探索性试题，我们一般可以采用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，这类试题的一般设问方式是“是否存在？存在给出证明，不存在说明理由”解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设例题如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC60，PAACa，PBPDa，点E在PD上，且PEED21.(1)证明：PA平面ABCD；(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；(3)问：在棱

2、PC上是否存在一点F，使BF平面AEC.证明你的结论审题方法F是线段PC上的点，一般可设，求出的值，点P是已知的，即可求出点F.解题思路(1)证明的是线面垂直，只要努力去找直线与平面内的两条相交直线垂直即可；(2)按找二面角的方法进行；(3)通过建立恰当的直角坐标系，给出相应点的坐标，利用坐标关系和向量的相等就可以解决了 (1)证明因为底面ABCD是菱形，ABC60，所以ABADACa，在PAB中，由PA2AB22a2PB2，知PAAB，同理PAAD，所以PA平面ABCD.(2)解如图1所示，作EGPA交AD于G，由PA平面ABCD，知EG平面ABCD，作GHAC于H，连接EH，则EHAC，则

3、EHG为所求二面角的平面角，设为.又PEED21，图1则EGa，AGa，GHAGsin60a，从而tan，所以30. (3)解以A为坐标原点，直线AD，AP分别为y轴，z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图2所示由题设条件，相关各点的坐标分别为A(0，0，0)，B，C，D(0，a，0)，P(0，0，a)，E.图2所以，(0，0，a)，.设F是棱PC上的点，且，其中01，则.令12，得：解得，1，2，即时，即F是PC的中点时，共面又BF不在平面AEC内，所以当F是棱PC的中点时，BF平面AEC.例题追根溯源如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC60，PAACa，

4、PBPDa，点E在PD上，且PEED1(N*)(1)证明：PA平面ABCD；(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC.证明你的结论审题方法F是线段PC上的点，一般可设t，求出t的值，点P是已知的，即可求出点F.解题思路通过建立恰当的直角坐标系，给出相应点的坐标，令所求直线对应的向量用该平面内的两个不共线向量表示即可(1)证明因为底面ABCD是菱形，ABC60，所以ABADACa，在PAB中，由PA2AB22a2PB2，知PAAB，同理PAAD，所以PA平面ABCD.(2)解方法一以A为坐标原点，直线AD，AP分别为y轴，z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系，由题设

5、条件，相关各点的坐标分别为A(0，0，0)，B，C，D(0，a，0)，P(0，0，a)，E.所以，(0，0，a)，.设F是棱PC上的点，且t，其中0t1，则.令12，得解得t，1t1，2(1)(1t)，即，故可以由和线性表示，并且BF平面AEC，所以BF平面AEC.审题方法作出适当的辅助线，利用中位线定理找到平行关系解题思路从E点出发，在线段PE上找到点M，使得E成为MD的中点，连接OE，构造DBM的中位线，下面只需作MFEC交PC于点F，这样点F就被找到了方法二如图3，在PE上取一点M，使得MEED，过点M作MFEC交PC于点F，连接BD交AC于点O，连接EO，BM.图3在DBM中，E，O分别是DM，DB的中点，所以EOBM，即BM平面AEC.又因为MF平面AEC，所以平面BMF平面AEC，故BF平面AEC.故.4