江苏专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5.2平面向量基本定理及坐标表示教案含解析
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1、5.2平面向量基本定理及坐标表示考情考向分析主要考查向量的加法、减法、数乘向量的坐标运算及向量共线的坐标表示,考查向量线性运算的综合应用,考查学生的运算推理能力、数形结合能力,常与三角函数综合交汇考查,突出向量的工具性一般以填空题的形式考查,偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题,属于中档题1平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x
2、2,y1y2),ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1),|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标设A(x1,y1),B(x2,y2),则(x2x1,y2y1),|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1,y1),b(x2,y2),其中a0.a,b共线x1y2x2y10.概念方法微思考1若两个向量存在夹角,则向量的夹角与直线的夹角一样吗?为什么?提示不一样因为向量有方向,而直线不考虑方向当向量的夹角为直角或锐角时,与直线的夹角相同当向量的夹角为钝角或平角时,与直线的夹角不一样2平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗?提示不一定当两个向量共线时,这两个向
3、量就不能表示,即两向量只有不共线时,才能作为一组基底表示平面内的任一向量题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底()(2)若a,b不共线,且1a1b2a2b,则12,12.()(3)在等边三角形ABC中,向量与的夹角为60.()(4)若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件可表示成.()(5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标()(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变()题组二教材改编2P79练习T6已知ABCD的顶点A(1,2),B(3,1),C(5,6),则顶点D的坐标为答案(1
4、,5)解析设D(x,y),则由,得(4,1)(5x,6y),即解得3P82T8已知向量a(2,3),b(1,2),若manb与a2b共线,则.答案解析由向量a(2,3),b(1,2),得manb(2mn,3m2n),a2b(4,1)由manb与a2b共线,得,所以.题组三易错自纠4设e1,e2是平面内一组基底,若1e12e20,则12.答案05已知点A(0,1),B(3,2),向量(4,3),则向量.答案(7,4)解析根据题意得(3,1),(4,3)(3,1)(7,4)6已知向量a(m,4),b(3,2),且ab,则m.答案6解析因为ab,所以(2)m430,解得m6.题型一平面向量基本定理的
5、应用例1如图,在OCB中,A是CB的中点,D是将分成21的一个内分点,DC和OA交于点E,设a,b.(1)用a和b表示向量,;(2)若,求实数的值解(1)由题意知,A是BC的中点,且,由平行四边形法则,得2,所以22ab,(2ab)b2ab.(2)由题意知,故设x.因为(2ab)a(2)ab,2ab.所以(2)abx.因为a与b不共线,由平面向量基本定理,得解得故.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来(2)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等(3)
6、强化共线向量定理的应用跟踪训练1在ABC中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又t,则t的值为答案解析,32,即22,2,即P为AB的一个三等分点,如图所示方法一A,M,Q三点共线,x(1x)(x1),而,.又,由已知t,可得t,又,不共线,解得t.方法二过Q作PC的平行线交AB于D,Q是BC中点,QDPC,且D是PB中点,QD2PM,PC4PM,CMCP,又t,t.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M(5,6)和向量a(1,2),若3a,则点N的坐标为答案(2,0)解析设N(x,y),则(x5,y6)(3,6),x2,y0.(2)已知A(2,4),B(3,1)
7、,C(3,4)设a,b,c,ambnc(m,nR),则mn.答案2解析由已知得a(5,5),b(6,3),c(1,8)mbnc(6mn,3m8n),解得mn2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标(2)解题过程中,常利用“向量相等,则坐标相同”这一结论,由此可列方程(组)进行求解跟踪训练2线段AB的端点为A(x,5),B(2,y),直线AB上的点C(1,1),使|2|,则xy.答案2或6解析由已知得(1x,4),22(3,1y)由|2|,可得2,则当2时,有解得此时xy2;当2时,有解得此时xy6.综上可知
8、,xy2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为答案(3,3)解析方法一由O,P,B三点共线,可设(4,4),则(44,4)又(2,6),由与共线,得(44)64(2)0,解得,所以(3,3),所以点P的坐标为(3,3)方法二设点P(x,y),则(x,y),因为(4,4),且与共线,所以,即xy.又(x4,y),(2,6),且与共线,所以(x4)6y(2)0,解得xy3,所以点P的坐标为(3,3)命题点2利用向量共线求参数例4(2019江苏南通启东中学模拟)已知向量a,b(x
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