江苏专用2020版高考数学大一轮复习第十一章计数原理随机变量及其概率分布11.5二项分布及其应用教案含解析
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1、11.5二项分布及其应用考情考向分析以理解独立重复试验、二项分布的概念为主,重点考查二项分布概率模型的应用识别概率模型是解决概率问题的关键在高考中,常以解答题的形式考查,难度为中档1条件概率及其性质(1)条件概率的定义对于两个事件A和B,在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为事件B发生的条件下事件A的条件概率(2)条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式,还可以借助古典概率公式,即P(B|A).2相互独立事件(1)对于事件A,B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A,B相互独立(2)若A与B相互独立,则P(AB)P(A)P(B)(3)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立
2、(4)若P(AB)P(A)P(B),则A,B相互独立3二项分布在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为XB(n,p)概念方法微思考1条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗?提示不一样,P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率,P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率2“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同?提示两事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响,两事件相互独立不一定互斥题组一思考辨析1判断下
3、列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率()(2)相互独立事件就是互斥事件()(3)对于任意两个事件,公式P(AB)P(A)P(B)都成立()(4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式,其中ap,b1p.()题组二教材改编2P58例3天气预报,在元旦假期甲地降雨概率是0.2,乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,则这两地中恰有一个地方降雨的概率为_答案0.38解析设甲地降雨为事件A,乙地降雨为事件B,则两地恰有一地降雨为AB,P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.20.70.8
4、0.30.38.3P63练习T1投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为_答案0.648解析该同学通过测试的概率PC0.620.40.630.4320.2160.648.题组三易错自纠4两个实习生每人加工一个零件,加工成一等品的概率分别为和,两个零件能否被加工成一等品相互独立,则这两个零件恰好有一个一等品的概率为_答案解析因为两人加工成一等品的概率分别为和,且相互独立,所以两个零件恰好有一个一等品的概率为P.5从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取
5、到的2个数均为偶数”,则P(B|A)_.答案解析P(A),P(AB),P(B|A).6一射手对同一目标进行4次射击,且射击结果之间互不影响已知至少命中一次的概率为,则此射手的命中率为_答案解析设此射手未命中目标的概率为p,则1p4,所以p,故1p.题型一条件概率例1某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求续保人本年度
6、的保费高于基本保费的概率;(2)若续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值解(1)设A表示事件“续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)0.20.20.10.050.55.(2)设B表示事件“续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)0.10.050.15.又P(AB)P(B),故P(B|A).因此所求概率为.(3)平均保费E(A)0.85a0.30.15a1.25a0.21.5a0.21.75a0.12a0.051.23a
7、,因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.思维升华 (1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A),这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数,即n(AB),得P(B|A).跟踪训练1已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只且不放回,则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下,第2次取到的是卡口灯泡的概率为_答案解析方法一设事件A为“第1次取到的是螺口灯泡”,事件B为“第2次取到的是卡口灯泡”,则
8、P(A),P(AB),则所求概率为P(B|A).方法二第1次取到螺口灯泡后还剩余9只灯泡,其中有7只卡口灯泡,故第2次取到卡口灯泡的概率为.题型二相互独立事件的概率例2某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的概率分布解记E甲组研发新产品成功,F乙组研发新产品成功,由题设知P(E),P(),P(F),P(),且事件E与F,E与,与F,与都相互独立(1
9、)记H至少有一种新产品研发成功,则,于是P()P()P(),故所求的概率为P(H)1P()1.(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X0)P(),P(X100)P(F),P(X120)P(E),P(X220)P(EF),故所求的概率分布为X0100120220P思维升华求相互独立事件同时发生的概率(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;正面计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算跟踪训练2为了纪念2017在德国波恩举行的联合国气候大会,某社区举办“环保我参与”有
10、奖问答比赛活动某场比赛中,甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题已知甲家庭回答正确的概率是,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是,乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率;(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确的概率解(1)记“甲回答正确”、“乙回答正确”、“丙回答正确”分别为事件A,B,C,则P(A),且有即所以P(B),P(C).(2)有0个家庭回答正确的概率为P0P()P()P()P(),有1个家庭回答正确的概率为P1P(ABC),所以不少于2个家庭回答正确的概率为P1P0P11.题型三独立重复试验与二项分布
11、命题点1根据独立重复试验求概率例3某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动,宣传长征精神,首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.公园甲乙丙丁获得签名人数45603015然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题,从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答,全部答对的幸运之星获得一份纪念品(1)求此活动中各公园幸运之星的人数;(2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为,求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率;(3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对,而另外2个问题答不对,记小李答对的问题数为X,求X的概率分布解(1)甲、乙、丙、丁四个公园幸
12、运之星的人数分别为103,104,102,101.(2)根据题意,乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为C4,所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为C22.(3)由题意,知X的所有可能取值为2,3,4,服从超几何分布,P(X2),P(X3),P(X4).所以X的概率分布为X234P命题点2根据独立重复试验求二项分布例4一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音
13、乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的概率分布;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?解(1)X可能的取值为10,20,100,200.根据题意,得P(X10)C12,P(X20)C21,P(X100)C30,P(X200)C03.所以X的概率分布为X1020100200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i1,2,3),则P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)131.因此,玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是.思维升华独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n次独立重复
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