江苏专用2020版高考数学大一轮复习第十一章计数原理随机变量及其概率分布11.2排列与组合教案含解析
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1、11.2排列与组合考情考向分析以理解和应用排列、组合的概念为主,常常以实际问题为载体,考查分类讨论思想,考查分析、解决问题的能力,题型以解答题为主,难度为中档1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用A表示(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用C表示3排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C性
2、质(3)0!1;An!(4)CC;CCC_概念方法微思考1排列问题和组合问题的区别是什么?提示元素之间与顺序有关的为排列,与顺序无关的为组合2排列数与组合数公式之间有何关系?它们公式都有两种形式,如何选择使用?提示(1)排列数与组合数之间的联系为CAA.(2)两种形式分别为:连乘积形式;阶乘形式前者多用于数字计算,后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证3解排列组合综合应用问题的思路有哪些?提示解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手“分析”是找出题目的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置”;“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等;“分类”就
3、是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类,然后逐类解决;“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤,而每一步都是简单的排列组合问题,然后逐步解决题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(3)(n1)!n!nn!.()(4)若组合式CC,则xm成立()(5)kCnC.()题组二教材改编2P29习题T56把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为_答案24解析“插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为A43224.3
4、P24习题T7某校拟从4名男教师和5名女教师中各选2名教师开设公开课,则男教师A和女教师B至少有一名被选中的不同选法的种数是_答案42解析从4名男教师和5名女教师中各选2名教师开设公开课,所有的选法种数是CC60.男教师A和女教师B都没有被选中的选法种数是CC18,故男教师A和女教师B至少有一名被选中的不同选法的种数是601842.题组三易错自纠4六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有_种答案216解析第一类:甲在最左端,有A54321120(种)排法;第二类:乙在最左端,甲不在最右端,有4A4432196(种)排法所以共有12096216(种)排法5为发
5、展国外孔子学院,教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文,若每个国家至少去一人,则不同的选派方案种数为_答案540解析依题意,选派方案分为三类:一个国家派4名,另两个国家各派1名,有A90(种);一个国家派3名,一个国家派2名,一个国家派1名,有CCCA360(种);每个国家各派2名,有A90(种),故不同的选派方案种数为9036090540.6寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游,实名制购票,每人一座,恰在同一排A,B,C,D,E五个座位(一排共五个座位),上车后五人在这五个座位上随意坐,则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有_种(用数字作答)答案45解析设5名同学也用A,B,C,
6、D,E来表示,若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法,设E同学坐在自己的座位上,则其他四位都不坐自己的座位,则有BADC,BDAC,BCDA,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA,共9种坐法,则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9545(种)题型一排列问题1用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有_个答案78解析根据题意知,要求这个五位数比20000大,则首位必须是2,3,4,5这4个数字中的一个,当首位是3时,百位数不是数字3,符合要求的五位数有A24(个);当首位是2,4,5时,由于百位数不能是数字3,则
7、符合要求的五位数有3(AA)54(个),因此共有542478(个)这样的五位数符合要求2某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言,那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)答案1560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了A40391560(条)留言36名同学站成1排照相,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边,共有_种不同站法答案480解析方法一(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边,再安排余下4人的位置,分为两步:第1步,从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边,有A种站法;第2步,余下4人(含甲)站在剩下的
8、4个位置上,有A种站法由分步计数原理可知,共有AA480(种)不同的站法方法二(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边),再安排其他5人的位置,分为两步:第1步,将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上,有A种站法;第2步,余下5人站在剩下的5个位置上,有A种站法由分步计数原理可知,共有AA480(种)不同的站法思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定
9、序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法题型二组合问题例1男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名现选派5人外出参加比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员解(1)分两步完成:第一步,选3名男运动员,有C种选法;第二步,选2名女运动员,有C种选法由分步计数原理可得,共有CC120(种)选法(2)方法一“至少有1名女运动员”包括以下四种情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男由分类计数原理可得总选法共有CCCCCCCC246(种)方法二“至少有1名女运动员
10、”的反面为“全是男运动员”,可用间接法求解从10人中任选5人有C种选法,其中全是男运动员的选法有C种所以“至少有1名女运动员”的选法有CC246(种)(3)方法一(直接法)可分类求解:“只有男队长”的选法种数为C;“只有女队长”的选法种数为C;“男、女队长都入选”的选法种数为C,所以共有2CC196(种)选法方法二(间接法)从10人中任选5人有C种选法,其中不选队长的方法有C种所以“至少有1名队长”的选法有CC196(种)(4)当有女队长时,其他人任意选,共有C种选法;当不选女队长时,必选男队长,共有C种选法,其中不含女运动员的选法有C种,所以不选女队长时的选法共有(CC)种所以既要有队长又要
11、有女运动员的选法共有CCC191(种)思维升华组合问题常有以下两类题型变化:(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理跟踪训练1某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有
12、多少种?(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?解(1)从余下的34种商品中,选取2种有C561(种)取法,某一种假货必须在内的不同取法有561种(2)从34种可选商品中,选取3种,有C种或者CCC5984(种)取法某一种假货不能在内的不同取法有5984种(3)从20种真货中选取1种,从15种假货中选取2种有CC2100(种)取法恰有2种假货在内的不同的取法有2100种(4)选取2种假货有CC种,选取3种假货有C种,共有选取方式CCC21004552555(种)至少有2种假货在内的不同的取法有255
13、5种(5)方法一(间接法)选取3种的总数为C,因此共有选取方式CC65454556090(种)至多有2种假货在内的不同的取法有6090种方法二(直接法)选取3种真货有C种,选取2种真货有CC种,选取1种真货有CC种,因此共有选取方式CCCCC6090(种)至多有2种假货在内的不同的取法有6090种题型三组合数的性质例2(2016江苏)(1)求7C4C的值;(2)设m,nN*,nm,求证:(m1)C(m2)C(m3)CnC(n1)C(m1)C.(1)解7C4C7204350.(2)证明当nm时,结论显然成立当nm时,(k1)C(m1)(m1)C,km1,m2,n.又因为CCC,所以(k1)C(m
14、1)(CC),km1,m2,n.因此,(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m1)(CC)CC(CC)(m1)C.思维升华 (1)组合数的性质可结合实际问题理解记忆(2)利用kCnC和CCC可有效解决一些常见组合数的求和问题跟踪训练2已知m,nN*,定义fn(m).(1)求f4(2),f4(5)的值;(2)证明:k2kfn(k)2n3n1.(1)解f4(2)6,f4(5)0.(2)证明fn(m)当n1时,k2kfn(k)22n3n1,等式成立当n2时,k2kfn(k)12fn(1)222fn(2)323fn(3)n2nfn(n)12C222
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