2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）已知等差数列an，a12，a34，则公差d（）A2B1C1D22（4分）已知向量，满足（1，2），（2，0），则2+（）A（4，4）B（2，4）C（2，2）D（3，2）3（4分）在数列an中，a1，an1（n1），则a2019的值为（）ABC5D以上都不对4（4分）已知向量（2，1），（m，2），若，则实数m的值为（）A4B1C1D45（4分）在ABC中，若tanAtanB1，则ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角

2、三角形D无法确定6（4分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论不正确的是（）Aa2b2+c22bccosABasinBbsinACabcosC+ccosBDacosB+bcosAsinC7（4分）莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份面包是（）A2个B13个C24个D35个8（4分）已知数列an满足a11，Sn是数列an的前n项和，则（）ABC数列a2n1是等差数列D数列an是等比数列9（4分）平面向量，满足|1，1，3，|4，当|+|取得最小值时，（

3、）A0B2C3D610（4分）设数列an的前n项和为Sn，若存在实数M0，使得对任意的nN*，都有|Sn|M，则称数列an为“L数列”（）A若an是等差数列，且首项a10，则数列an是“L数列”B若an是等差数列，且公差d0，则数列an是“L数列”C若an是等比数列，且公比q满足|q|1，则数列an是“L数列”D若an是等比数列，也是“L数列”，则数列an的公比q满足|q|1二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上.11（6分）已知向量满足若，则m   ，   12（6分）已知数列an的前n项和Snn2，nN*则a1 &n

4、bsp; ，a1a2+a3a4+a2017a2018   13（6分）在ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a2b2+c2bc，sinC2cosB，则A   ；C   14（6分）已知数列an满足a2+a518，a3a432，若an为单调递增的等差数列，其前n项和为Sn，则S10   ，若an为单调递减的等比数列，其前n项和为Tn63，则n   15（4分）已知向量，其中，均为非零向量，|的取值范围是   16（4分）若锐角ABC的面积为，AB5，AC8，则BC边上的中线AD的长是   17（4分）如图，在同一

5、个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且tan7，与的夹角为45若m+n（m，nR），则m+n   三、解答题：本大题共小题，共分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）已知为单位向量，（1）求|2+|（2）求与的夹角的余弦值；19（15分）如图，在圆内接ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA2bcosB（1）求B的大小；（2）若点D是劣弧上一点，a2，c3，cosCAD，求线段AD长20（15分）已知公差不为零的等差数列an的前9项和S945，且a2，a4，a8成等比数列（1）若数列bn满足b1a1，2bn+12bn

6、+an，求数列bn的通项公式；（2）若数列cn满足，求数列cn的前n项和Tn21（15分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，c2b（1）若，b1，求ABC的面积；（2）若a2，求ABC的面积的最大值22（15分）已知数列an的各项均不为零，其前n项和为Sn，设，数列bn的前n项和为Tn（1）比较bn+1与bn的大小（nN*）；（2）证明：T2n13，nN*2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）已知等差数列an，a12，a34，则

7、公差d（）A2B1C1D2【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：数列an是等差数列，a12，a34，a3a1+2d，即42+2d，解得d1故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题2（4分）已知向量，满足（1，2），（2，0），则2+（）A（4，4）B（2，4）C（2，2）D（3，2）【分析】直接利用向量的坐标的加法运算求出结果【解答】解：向量，满足（1，2），（2，0），则：2+2（1，2）+（2，0）（4，4）故选：A【点评】本题考查的知识要点：向量的加法运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型3（4分）在数列an中，a1，an1（n1），则a2

8、019的值为（）ABC5D以上都不对【分析】根据数列递推关系，求出数列具备周期性，利用数列的周期性进行求解即可【解答】解：，a1，an1（n1），a2111+45，a311，a4111，则a4a1，即an+3an，即数列an是周期为3的周期数列，20196733，a2019a3，故选：B【点评】本题主要考查递推数列的应用，利用条件推出数列的周期性是解决本题的关键4（4分）已知向量（2，1），（m，2），若，则实数m的值为（）A4B1C1D4【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值【解答】解：向量（2，1），（m，2），若，则0，2m+20，解得m1故选：B【点评】本题考查了平面向量垂

9、直的坐标运算问题，是基础题5（4分）在ABC中，若tanAtanB1，则ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定【分析】利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），根据A与B的范围以及tanAtanB1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后判断出tan（A+B）小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形【解答】解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB1，得到1tanAtanB0，且得到tanA0，tanB0，即A，B为锐角，所以tan（A+B）0，则A+B（ ，），即C都为锐角，所以ABC是锐角三角形故选：A【点评

10、】此题考查了三角形的形状判断，用的知识有两角和与差的正切函数公式解本题的思路是：根据tanAtanB1和A与B都为三角形的内角得到tanA和tanB都大于0，即A和B都为锐角，进而根据两角和与差的正切函数公式得到tan（A+B）的值为负数，进而得到A+B的范围，判断出C也为锐角6（4分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论不正确的是（）Aa2b2+c22bccosABasinBbsinACabcosC+ccosBDacosB+bcosAsinC【分析】利用正弦定理、余弦定理直接求解【解答】解：由在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，知：在A中，由余弦定理得：a

11、2b2+c22bccosA，故A正确；在B中，由正弦定理得：，asinBbsinA，故B正确；在C中，abcosC+ccosB，由余弦定理得：ab+c，整理，得2a22a2，故C正确；在D中，由余弦定理得：acosB+bcosAa+b+csinC，故D错误故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7（4分）莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份面包是（）A2个B13个C24个D35个【分析】由题意

12、可设五个人所分得的面包数为：a2d，ad，a，a+d，a+2d（其中d0），然后由已知列式求得a，d的值，则答案可求【解答】解：设五个人所分得的面包数为：a2d，ad，a，a+d，a+2d（其中d0），则有（a2d）+（ad）+a+（a+d）+（a+2d）120，5a120，得a24又a2d+ad，24d11a，得d11最小的一份为a2d24222个，故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题8（4分）已知数列an满足a11，Sn是数列an的前n项和，则（）ABC数列a2n1是等差数列D数列an是等比数列【分析】数列an满足a11，由2，a1a22，可得：an+22an，a22

13、可得：数列an的奇数项、偶数项分别成等比数列，公比为2首项分别为：1，2通过分组利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：数列an满足a11，2，a1a22，an+22an，a22数列an的奇数项、偶数项分别成等比数列，公比为2首项分别为：1，2S2018（a1+a3+a2017）+（a2+a4+an）（1+2+22+21008）+（2+22+21009）+3210093故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（4分）平面向量，满足|1，1，3，|4，当|+|取得最小值时，（）A0B2C3D6【分析】运用坐标法解决此问题即可【

14、解答】解：根据题意设（1，0）；（1，m）；（3，n）（2，mn）4+（mn）216mn不妨设mn2则+（4，m+n）（4，2n+2）16+4n2+8n+124n2+8n+28当n时上式取最小值此时n，m3+mn30，故选：A【点评】本题考查平面向量数量积的运算10（4分）设数列an的前n项和为Sn，若存在实数M0，使得对任意的nN*，都有|Sn|M，则称数列an为“L数列”（）A若an是等差数列，且首项a10，则数列an是“L数列”B若an是等差数列，且公差d0，则数列an是“L数列”C若an是等比数列，且公比q满足|q|1，则数列an是“L数列”D若an是等比数列，也是“L数列”，则数列a

15、n的公比q满足|q|1【分析】求出等差数列的前n项和公式，取d0即可判断A错误；举例首项不为0判断B错误；求出等比数列的前n项和，由绝对值不等式证明C正确；举例说明D错误【解答】解：对于A，若an是等差数列，且首项a10，当d0时，当n+时，|Sn|+，则an不是“L数列”，故A错误；对于B，若an是等差数列，且公差d0，Snna1，当a10时，当n+时，|Sn|+，则an不是“L数列”，故B错误；对于C，若an是等比数列，且公比|q|1，|Sn|，则an是“L数列”，故C正确；对于D，若an是等比数列，且an是“L数列”，则an的公比|q|1或q1，故D错误故选：C【点评】本题是新定义题，考

16、查了等差数列和等比数列的应用，对题意的理解是解答此题的关键，属中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上.11（6分）已知向量满足若，则m4，【分析】由共线定理的坐标表示可得m，由模的坐标表示可得|【解答】解：，m4；（2，4），|2，故答案为：4；2【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，共线定理，模的求法，属基础题12（6分）已知数列an的前n项和Snn2，nN*则a11，a1a2+a3a4+a2017a20182018【分析】首先利用数列的前n项和公式的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【解答】解：数列an的前n项和

17、Snn2，所以：anSnSn12n1，当n1时，a11，所以：a1a2+a3a4+a5a6+a2017a2018，13+57+911+40334035，2018故答案为：1，2018【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型13（6分）在ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a2b2+c2bc，sinC2cosB，则A30；C90【分析】利用余弦定理可得cosA，可得A30；根据B150C，利用差角余弦公式变形可得【解答】解：由a2b2+c2得cosA，0A，A30，B150C，由sinC2cosB得：s

18、inC2cos（150C），得sinC2（cosCcos150+sinCsin150），即sinCcosC+sinC，即cosC0，C90故答案为：30，90【点评】本题考查了正余弦定理，属中档题14（6分）已知数列an满足a2+a518，a3a432，若an为单调递增的等差数列，其前n项和为Sn，则S10370，若an为单调递减的等比数列，其前n项和为Tn63，则n6【分析】an为单调递增的等差数列，则公差d0由数列an满足a2+a518，a3a432，可得a2+a518a3+a4，a3a432，可得a3，a4为一元二次方程x218x+320的两个实数根，且a3a4，解得再利用通项公式与求和

19、公式即可得出设等比数列an的公比为q，数列an满足a2+a518，a3a432a2a5，可得a2，a5是一元二次方程x218x+320的两个实数根，又an为单调递减的等比数列，可得a216，a52再利用通项公式与求和公式即可得出【解答】解：an为单调递增的等差数列，则公差d0数列an满足a2+a518，a3a432，a2+a518a3+a4，a3a432，则a3，a4为一元二次方程x218x+320的两个实数根，且a3a4，解得a32，a416，可得d14，a1+2142，解得a126S102610+14370设等比数列an的公比为q，数列an满足a2+a518，a3a432a2a5，a2，a

20、5是一元二次方程x218x+320的两个实数根，又an为单调递减的等比数列，a216，a52q3，解得qa116，解得a132Tn63，解得n6故答案为：370，6【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（4分）已知向量，其中，均为非零向量，|的取值范围是0，2【分析】利用向量三角形不等式即可得出【解答】解：02，|的取值范围是0，2；故答案为0，2【点评】熟练掌握向量三角形不等式是解题的关键16（4分）若锐角ABC的面积为，AB5，AC8，则BC边上的中线AD的长是【分析】直接利用三角形的面积公式求出A的值，进一步利用余弦定

21、理求出结果【解答】解：锐角ABC的面积为，AB5，AC8，则：，解得：sinA，所以：A，所以：BC2AC2+AB22ACABcosA，解得：BC7在ABD中，利用余弦定理：AB2BD2+AD22BDADcosBDA，在ACD中，利用余弦定理：AC2CD2+AD2+2CDADcosBDA+得：AB2+AC2BD2+CD2+2AD2，解得：AD故答案为：【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型17（4分）如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且tan7，与的夹角为45若m+n（m，nR），则m+n3【分析】

22、如图所示，建立直角坐标系A（1，0）由与的夹角为，且tan7可得cos，sinC可得cos（+45）sin（+45）B利用m+n（m，nR），即可得出【解答】解：如图所示，建立直角坐标系A（1，0）由与的夹角为，且tan7cos，sinCcos（+45）（cossin）sin（+45）（sin+cos）Bm+n（m，nR），mn，0+n，解得n，m则m+n3故答案为：3【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共小题，共分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）已知为单位向量，（1）求|2+|（2）求与的夹角的余弦

23、值；【分析】（1）由平面向量模的运算及数量积运算得：|2+|，（2）由平面向量夹角得：cos，得解【解答】解：（1）因为为单位向量，所以|1，又，故|2+|，（2）因为（2）2，所以cos，故答案为：【点评】本题考查了平面向量模的运算及数量积运算，属中档题19（15分）如图，在圆内接ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA2bcosB（1）求B的大小；（2）若点D是劣弧上一点，a2，c3，cosCAD，求线段AD长【分析】（1）由acosC+ccosA2bcosB利用余弦定理得：aba2+c2b2，由此能求出B（2）拴导出AC，sinCADADC1806012

24、0，由正弦定理得：再由余弦定理能求出AD【解答】解：（1）acosC+ccosA2bcosB+c2bc，整理，得：aba2+c2b2，cosB，B60（2）点D是劣弧上一点，a2，c3，cosCAD，AC，sinCAD，ADC18060120，由正弦定理得：CD，cosCAD，解得AD2+【点评】本题考查满足条件的三角形的角和边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题20（15分）已知公差不为零的等差数列an的前9项和S945，且a2，a4，a8成等比数列（1）若数列bn满足b1a1，2bn+12bn+an，求数列bn的通项公式；（2）若数列cn满足

25、，求数列cn的前n项和Tn【分析】（1）首相利用已知条件求出等差数列an的通项公式，进一步利用叠加法求出数列bn的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和【解答】解（1）由公差为d且不为零的等差数列an的首项为a1，前9项和S945，所以：，整理得：a1+4d5，且a2，a4，a8成等比数列得：化简得da1，所以 a11，d1因此数列的通项公式ann数列bn满足b1a1，2bn+12bn+an，所以：，所以：，所以：（2）数列cn满足，由题意则，整理得：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算

26、能力和转换能力，属于基础题型21（15分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，c2b（1）若，b1，求ABC的面积；（2）若a2，求ABC的面积的最大值【分析】（1）通过余弦定理以及三角形的面积公式求解即可（2）求出三角形的面积的表达式，结合余弦定理，转化求解即可【解答】解：（1），b1，c2b2，（2）又4b2+b2422bbcosA，S2b4sin2Ab4（1cos2A）（当且仅当时取等号）【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理以及三角形的面积的求法，考查计算能力22（15分）已知数列an的各项均不为零，其前n项和为Sn，设，数列bn的前n项和为Tn（1）比较bn+1与bn的大小（nN*）；（2）证明：T2n13，nN*【分析】（1）首先求出数列的通项公式，进一步比较出关系式的大小（2）利用放缩法的应用求出结果【解答】解：（1）由Sn2an2当n2时，得：Sn12an12，得：an2an2an1（n2），所以：an2an1，又a12，（首项符合通项），则：，即：；证明：（2）由（1）知：，因此当n2时，则：T2n1b1+b2+b2n1【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，放缩法在求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型