“数学周报杯”全国初中数学竞赛决赛试卷（含详细解答）

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1、“数学周报杯”全国初中数学竞赛决赛试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1（7分）已知非零实数a，b满足|2a4|+|b+2|+42a，则a+b等于（）A1B0C1D22（7分）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OAa，OBOCOD1，则a等于（）ABC1D23（7分）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）ABCD4（7分）如图1，在直角梯形ABCD，B90，DCAB，动点P从B点出发，由BCDA沿边运动，设点P运动的路程为x，

2、ABP的面积为y，如果关于x的函数y的图象如图2，则ABC的面积为（）A10B16C18D325（7分）关于x，y的方程x2+xy+2y229的整数解（x，y）的组数为（）A2组B3组C4组D无穷多组二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6（7分）一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km7（7分）已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BDAC；再以

3、点D为圆心，DA的长为半径作圆，与A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为 8（7分）已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a59的五个不同的整数，若b是关于x的方程（xa1）（xa2）（xa3）（xa4）（xa5）2009的整数根，则b的值为 9（7分）如图，在ABC中，CD是高，CE为ACB的平分线若AC15，BC20，CD12，则CE的长等于 10（7分）10个人围成一个圆圈做游戏游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来若报出来的数如图所示，则报3的人心

4、里想的数是 三、解答题（共4小题，满分80分）11（20分）已知抛物线yx2与动直线y（2t1）xc有公共点（x1，y1），（x2，y2），且x12+x22t2+2t3（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值12（20分）已知正整数a满足192|a3+191，且a2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和13（20分）如图，给定锐角三角形ABC，BCCA，AD，BE是它的两条高，过点C作ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论14（20分）n个正整数a1，a2，an满足如下条件：1a1a2

5、an2009；且a1，a2，an中任意n1个不同的数的算术平均数都是正整数求n的最大值 “数学周报杯”全国初中数学竞赛决赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1（7分）已知非零实数a，b满足|2a4|+|b+2|+42a，则a+b等于（）A1B0C1D2【解答】解：由题设知a3，所以，题设的等式为，于是a3，b2，从而a+b1故选：C2（7分）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OAa，OBOCOD1，则a等于（）ABC1D2【解答】解：BACBCAOBCOCB，BOCABC，所以，即，所以，a2a10由a0，解得故选：A3（7分）将一枚六

6、个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）ABCD【解答】解：当2ab0时，方程组无解；当2ab0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得易知a，b都为大于0的整数，则两式联合求解可得x，y，使x、y都大于0则有0，0，解得a1.5，b3或者a1.5，b3，而a，b都为1到6的整数，所以可知当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2，这两种情况的总出现可能有3+1013种；又掷两次骰子出现的基本事件共6636种情况，故所求概率为

7、，故选D4（7分）如图1，在直角梯形ABCD，B90，DCAB，动点P从B点出发，由BCDA沿边运动，设点P运动的路程为x，ABP的面积为y，如果关于x的函数y的图象如图2，则ABC的面积为（）A10B16C18D32【解答】解：根据图2可知当点P在CD上运动时，ABP的面积不变，与ABC面积相等；且不变的面积是在x4，x9之间；所以在直角梯形ABCD中BC4，CD5，AD5过点D作DNAB于点N，则有DNBC4，BNCD5，在RtADN中，AN3所以ABBN+AN5+38所以ABC的面积为ABBC8416故选：B5（7分）关于x，y的方程x2+xy+2y229的整数解（x，y）的组数为（）A

8、2组B3组C4组D无穷多组【解答】解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x2+yx+（2y229）0由于该方程有整数根，则判别式0，且是完全平方数由y24（2y229）7y2+1160，解得y2于是 y2 01 49 16 116 109 88 53 4显然，只有y216时，4是完全平方数，符合要求当y4时，原方程为x2+4x+30，此时x11，x23；当y4时，原方程为x24x+30，此时x31，x43所以，原方程的整数解为故选：C二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6（7分）一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶

9、3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶3750km【解答】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有两式相加，得，则（千米）故答案为：37507（7分）已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BDAC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则

10、的值为【解答】解：如图，延长AD与D交于点E，连接AF，EF线段AB的中点为C，ACBC，BDAC，BDACBC，ACAB，ADAE，在FHA和EFA中，EFAFHA90，FAHEAF，RtFHARtEFA，AFAB，故答案为：8（7分）已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a59的五个不同的整数，若b是关于x的方程（xa1）（xa2）（xa3）（xa4）（xa5）2009的整数根，则b的值为10【解答】解：因为（ba1）（ba2）（ba3）（ba4）（ba5）2009，且a1，a2，a3，a4，a5是五个不同的整数，所有ba1，ba2，ba3，ba4，ba5也是五

11、个不同的整数又因为20091（1）7（7）41，所以ba1+ba2+ba3+ba4+ba541由a1+a2+a3+a4+a59，可得b10故答案为：109（7分）如图，在ABC中，CD是高，CE为ACB的平分线若AC15，BC20，CD12，则CE的长等于【解答】解：如图，由勾股定理知AD9，BD16，所以ABAD+BD25故由勾股定理逆定理知ACB为直角三角形，且ACB90作EFBC，垂足为F设EFx，由，得CFx，于是BF20x由于EFAC，所以，即，解得所以故答案为：10（7分）10个人围成一个圆圈做游戏游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然

12、后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是2【解答】解：设报3的人心里想的数是x，因为报3与报5的两个人报的数的平均数是4，所以报5的人心里想的数应是8x，于是报7的人心里想的数是12（8x）4+x，报9的人心里想的数是16（4+x）12x，报1的人心里想的数是20（12x）8+x，报3的人心里想的数是4（8+x）4x，所以得x4x，解得x2故答案为：2三、解答题（共4小题，满分80分）11（20分）已知抛物线yx2与动直线y（2t1）xc有公共点（x1，y1），（x2，y2），且x12+x22t2+2t3（1）求实数t的取值范围；（2）当t

13、为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值【解答】解：（1）联立yx2与y（2t1）xc，消去y得二次方程x2（2t1）x+c0有实数根x1，x2，则x1+x22t1，x1x2c所以把式代入方程得t的取值应满足t2+2t3x12+x220，且使方程有实数根，即（2t1）22（3t26t+4）2t2+8t70，解不等式得t3或t1，解不等式得t所以，t的取值范围为t（t）（2）由式知由于在t时是递增的，所以，当时，答：当时，c有最小值：12（20分）已知正整数a满足192|a3+191，且a2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和【解答】解：由192|a3+191，可得192|a31+1923

14、26，且a31（a1）a（a+1）+1（a1）a（a+1）+（a1） 因为a（a+1）+1是奇数，所以326|a31等价于26|a1，又因为3|（a1）a（a+1），所以3|a31等价于3|a1因此有192|a1，于是可得a192k+1 又0a2009，所以k0，1，10因此，满足条件的所有可能的正整数a的和为11+192（1+2+10）1057113（20分）如图，给定锐角三角形ABC，BCCA，AD，BE是它的两条高，过点C作ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论【解答】解：结论是DFEGFCDEAB，DFCBEA90，

15、RtFCDRtEAB，同理可得，又，BECDADCE，DFEG14（20分）n个正整数a1，a2，an满足如下条件：1a1a2an2009；且a1，a2，an中任意n1个不同的数的算术平均数都是正整数求n的最大值【解答】解：设a1，a2，an中去掉ai后剩下的n1个数的算术平均数为正整数bi，i1，2，n即于是，对于任意的1ijn，都有，从而n1|（ajai），由于是正整数，故n1|23251，由于an1（anan1）+（an1an2）+（a2a1）（n1）+（n1）+（n1）（n1）2，所以，（n1）22008，于是n45，结合n1|23251，所以，n9；另一方面，令a180+1，a281+1，a382+1，a887+1，a98251+1，则这9个数满足题设要求综上所述，n的最大值为9