《反比例函数》挑战压轴题系列之(一)综合大题【PDF版含答案】
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1、 1 1 / 2323 前言:反比例函数是人教版数学中所要求掌握学习的第三种函数,其 知识点的难度相对于二次函数是比较简单的。在压轴题中,反比例函 数知识点的考察通常会结合一次函数、二次函数、三角形、平行四边 形的知识点进行综合考察。 与函数相关的综合大题的题法多种多样,以下我将归纳几种常见 题法及其应对思路: (1): 先确定函数上的点坐标, 再用 “待简单的求函数解析式问题 定系数法”即可求出函数解析式。 (2): 求函数上的点坐标 类型一,比如与坐标轴的交点或者横纵坐标已简单的点坐标 知其中一个, 将坐标代入函数解析式即可求出另一部分坐标值; 类型二,:联立函数解析式建立方程组求两函数的
2、交点的坐标 即可求出; 类型三,:先设坐标的横坐标,代入解求特定情况的点的坐标 析式得到纵坐标的表达式, 再结合题目信息列出符合题意的等 式,从而确定点坐标。 (4)已知函数类型及其图像上的点的特征,求符合题意的函数解 :这类题的函数图像是“变动”的,因此函数上的点也不能直接析式 确定,需要先设函数解析式和图像上的点的坐标,再结合题目信息列 2 2 / 2323 出符合题意的等式,从而确定点坐标,最后再确定该函数的解析式。 并且要注意是否有多解的情况。 (5)已知解析式,求某些线段的长度、几个点所围成的图形面积 (其中部分点位于某些函数图像上) :先将不规则图形利用割补等等 法转换成规则图形,
3、各规则图形的边长如果是动态的话(端点位于函 数图像上) ,则设端点的横坐标为某一常数(t) ,再结合函数的解析 式得到这个端点的纵坐标(含 t 的整式) ,从而确定某一边长长度的 表达式,再结合题目其他信息代入计算得到边长的长度,就可以进一 步计算图形面积了。 不难发现,题型是多变的但这些题的解答的关键往往离不开函数 的解析式与函数上的点之间的关系,在解答过程中,大胆的设点坐标 或函数解析式,利用两者的关系进行解答,会有意想不到收获。 以下将通过例题来强化同学们对反比例函数综合大题的解题能力。 3 3 / 2323 1. 如图,在平面直角坐标系中,正方形 OABC的顶点 O与坐标原点重合,点
4、C的坐标为 (0, 3) , 点 A 在 x 轴的负半轴上, 点 D、 M分别在边 AB、 OA 上, 且 AD=2DB, AM=2MO, 一次函数 y=kx+b 的图象过点 D 和 M,反比例函数 y= 的图象经过点 D,与 BC的交点 为 N (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)若点 P在直线 DM 上,且使OPM 的面积与四边形 OMNC的面积相等,求点 P 的坐标 2. 如图,分别位于反比例函数 y=1 ,y= 在第一象限图象 上的两点 A、B,与原点 O 在同一直线上,且 = 1 3 (1)求反比例函数 y= 的表达式; (2)过点 A 作 x 轴的平行线交 y= 的图象于
5、点 C,连 接 BC,求ABC的面积 4 4 / 2323 3. 如图,在ABC中,AC=BC,ABx 轴,垂足为 A反比例函数 y= (x0)的图象经过 点 C,交 AB于点 D已知 AB=4,BC=5 2 (1)若 OA=4,求 k的值; (2)连接 OC,若 BD=BC,求 OC的长 4. 如图,设反比例函数的解析式为 y=3 (k0) (1) 若该反比例函数与正比例函数 y=2x 的图象有一个 交点的纵坐标为 2,求 k的值; (2) 若该反比例函数与过点 M (-2, 0) 的直线 l: y=kx+b 的图象交于A, B两点, 如图所示, 当ABO的面积为 16 3 时, 求直线 l
6、的解析式 5 5 / 2323 5. 如图, 一次函数 y=x+4 的图象与反比例函数 y= (k 为常数, 且 k0)的图象交于 A(-1,a),B(b,1)两点 (1)求反比例函数的表达式; (2)在 x 轴上找一点 P,使 PA+PB 的值最小,求满足条 件的点 P的坐标; (3)求PAB的面积 6. 如图,直线 y=k1x+b 与双曲线 y=2 相交于 A(1,3),B(m,-1) 两点 (1)求直线和双曲线的解析式; (2) 点 C为 x 轴正半轴上一点, 连接 AO, AC, 且 AO=AC, 求 SAOC; (3)设直线 y=k1x+b 与 x 轴的交点 D;在双曲线上是否存在合
7、适的 点 P,使 SPDO=SAOC?若存在,求出点 P的坐标;若不存在,请 说明理由 6 6 / 2323 7. 如图,在矩形 OABC 中,OA=3,OC=2,F是 AB 上的一 个动点 (F不与A, B重合) , 过点F的反比例函数y= (k0) 的图象与 BC边交于点 E (1)当 F为 AB 的中点时,求该函数的解析式; (2)当 k 为何值时,EFA 的面积为 2 3 8. 如图,在ABC中,AC=BC,ABx 轴于 A,反比例函数 = (x0) 的图象经过点C, 交AB于点D, 已知AB=4, BC=5 2 (1)若 OA=4,求 k的值 (2)连接 OC,若 AD=AC,求 C
8、O 的长 7 7 / 2323 9. 如图, 已知一次函数y1=k1x+6与反比例函数y2=2 相交于A、 B,与 x 轴交于点 C,过点 B 作 BDx 轴于点 D,已知 sinDBC= 5 5 ,OC:CD=3:1 (1)求 y1和 y2的解析式; (2)连接 OA,OB,求AOB 的面积 10. 如图 1 所示, 一次函数 y=kx+b的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A (1, t+1) , B (t-5, -1)两点 (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)设点(a,b)和(c,d)是反比例函数 y= 图象上两点,若 1 = 1 + 1 2,求 a-c的值; (3)若 M(
9、x1,y1)和 N(x2,y2)两点在直线 AB上,如图 2 所示,过 M、N两点分 别作 y轴的平行线交双曲线于 E、F,已知-3x10,x21,请探究当 x1、x2满足什么 关系时,MNEF 8 8 / 2323 11. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(8,1),B(0, -3),反比例函数 y= (x0)的图象经过点 A,动直线 x=t(t0)与反比 例函数的图象交于点 M,与直线 AB 交于点 N (1)求 k 的值; (2)若BMN面积为 25 4 ,求 t的值 12. 如图,一次函数 y1=ax+b 与反比例函数 y2= 的图象交于 A(m,-2) ,B (1,n)两点,BC
10、x 轴于点 C,SBOC=3 2 (1)求反比例函数的解析式; (2)若 y1y2,写出 x 的取值范围 9 9 / 2323 13. 已知O为坐标原点, 点C在x轴的正半轴上, 四边形OABC是平行四边形, 且AOC=45 , 设 OA=2,反比例函数 = 在第一象限内的图象经过点 A,交 BC于点 D,D 是 BC 边的中点 (1)如图 1,当 a=4 时,求 k的值及边 OC的长; (2)如图 2,连结 AD、OD,若OAD 的面积是 27,求 a 的值及点 B 的坐标 14. 如图所示,直线 y1=1 4x+1 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,与反比例函数 y2= (x0)
11、 的图象交于点 C,且 AB=BC (1)求点 C的坐标和反比例函数 y2的解析式; (2) 点 P在 x 轴上, 反比例函数 y2图象上存在点 M, 使得四边形 BPCM为平行四边形, 求BPCM 的面积 1010 / 2323 15. 如图,四边形 ABCD 是正方形,点 A 的坐标是(0,1),点 B 的坐标是(0,-2),反比例函数 y= 的图象经过点 C,一 次函数 y=ax+b 的图象经过 A、C两点, 两函数图象的另一个 交点 E 的坐标是(m,3) (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式 (2)求出 m 的值,并根据图象回答:当 x 为何值时,一次 函数的值大于反比例函数的
12、值 (3)若点 P是反比例函数图象上的一点,AOP的面积恰 好等于正方形 ABCD 的面积,求点 P坐标 1111 / 2323 答案和解析答案和解析 1.【答案】解:(1)正方形 OABC的顶点 C(0,3), OA=AB=BC=OC=3,OAB=B=BCO=90 , AD=2DB, = 2 3 = 2, D(-3,2), 把 D 坐标代入 = 得:m=-6, 反比例解析式为 = 6 , AM=2MO, = 1 3 = 1,即 M(-1,0), 把 M 与 D 坐标代入 y=kx+b 中得: + = 0 3 + = 2, 解得:k=b=-1, 则直线 DM 解析式为 y=-x-1; (2)把
13、 y=3 代入 = 6 得:x=-2, N(-2,3),即 NC=2, 设 P(x,y), OPM 的面积与四边形 OMNC的面积相等, 1 2( + ) = 1 2 |,即|y|=9, 解得:y= 9, 当 y=9 时,x=-10,当 y=-9 时,x=8, 则 P坐标为(-10,9)或(8,-9). 【解析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有:待定系数法确定一 次函数、反比例函数解析式,坐标与图形性质,正方形的性质,以及三角形面积计算,熟练 掌握待定系数法是解本题的关键. (1)由正方形 OABC的顶点 C坐标,确定出边长,及四个角为直角,根据 AD=2DB,求出 AD
14、 的长,确定出 D 坐标,代入反比例解析式求出 m的值,再由 AM=2MO,确定出 MO 的 长,即 M 坐标,将 M与 D坐标代入一次函数解析式求出 k与 b 的值,即可确定出一次函数 解析式; (2)把 y=3 代入反比例解析式求出 x 的值,确定出 N坐标,得到 NC的长,设 P(x,y), 根据OPM的面积与四边形 OMNC的面积相等,求出 y 的值,进而得到 x 的值,确定出 P 坐标即可. 2.【答案】解: (1)作 AE、BF分别垂直于 x轴,垂足为 E、F AOEBOF,又 = 1 3, 1212 / 2323 = = = 1 3 由点 A 在函数 y=1 的图象上, 设 A
15、的坐标是(m, 1 ), = = 1 3, = 1 = 1 3, OF=3m,BF= 3 ,即 B 的坐标是(3m, 3 ) 又点 B 在 y= 的图象上, 3 = 3, 解得 k=9, 则反比例函数 y= 的表达式是 y= 9 ; (2)由(1)可知,A(m, 1 ),B(3m, 3 ), 又已知过 A 作 x 轴的平行线交 y=9 的图象于点 C C的纵坐标是 1 , 把 y= 1 代入 y= 9 得 x=9m, C的坐标是(9m, 1 ), AC=9m-m=8m SABC=1 2 8m 2 =8 【解析】(1)作 AE、BF分别垂直于 x 轴,垂足为 E、F,根据AOEBOF,则设 A
16、的横 坐标是 m,则可利用 m 表示出 A 和 B的坐标,利用待定系数法求得 k的值; (2)根据 ACx 轴,则可利用 m 表示出 C的坐标,利用三角形的面积公式求解 本题考查了待定系数法确定函数关系式以及相似三角形的判定与性质,正确利用 m 表示出 个点的坐标是关键 3.【答案】解:(1)作 CEAB,垂足为 E, 1313 / 2323 AC=BC,AB=4, AE=BE=2 在 RtBCE中,BC=5 2,BE=2, CE=3 2, OA=4, C点的坐标为( 5 2,2), 点 C在 = 的图象上, k=5; (2)设 A点的坐标为(m,0), BD=BC=5 2,AB=4, AD=
17、3 2, D,C两点的坐标分别为:(m, 3 2),(m- 3 2,2) 点 C,D 都在 = 的图象上, 3 2m=2(m- 3 2), m=6, C点的坐标为:( 9 2,2), 作 CFx 轴,垂足为 F, OF=9 2,CF=2, 在 RtOFC中, OC2=OF2+CF2, OC=97 2 【解析】(1)利用等腰三角形的性质得出 AE,BE的长,再利用勾股定理得出 OA 的长, 得出 C点坐标即可得出答案; 1414 / 2323 (2)首先表示出 D,C点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出 C点坐标,再利用勾 股定理得出 CO 的长 此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和
18、反比例函数图象上的性质,正确得出 C 点坐标是解题关键 4.【答案】解:(1)由题意 A(1,2), 把 A(1,2)代入 y=3 ,得到 3k=2, k=2 3 (2)把 M(-2,0)代入 y=kx+b,可得 b=2k, y=kx+2k, 由 = 3 = + 2消去 y 得到 x 2+2x-3=0,解得 x=-3 或 1, B(-3,-k),A(1,3k), ABO的面积为 16 3 , 1 223k+ 1 22k= 16 3 , 解得 k=4 3, 直线 l的解析式为 y=4 3x+ 8 3 【解析】(1)由题意可得 A(1,2),利用待定系数法即可解决问题; (2) 把M (-2, 0
19、) 代入y=kx+b, 可得b=2k, 可得y=kx+2k, 由 = 3 = + 2消去y得到x 2+2x-3=0, 解得 x=-3或 1, 推出 B (-3, -k) , A (1, 3k) , 根据ABO 的面积为 16 3 , 可得 1 223k+ 1 22k= 16 3 , 解方程即可解决问题; 本题考查一次函数与反比例函数图象的交点、待定系数法、二元一次方程组等知识,解题的 关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型 5.【答案】解:(1)当 x=-1 时,a=x+4=3, 点 A 的坐标为(-1,3) 将点 A(-1,3)代入 y= 中, 3= ;1,解得:k=-3, 反比例
20、函数的表达式为 y=-3 (2)当 y=b+4=1 时,b=-3, 点 B 的坐标为(-3,1) 作点 B 关于 x轴的对称点 D,连接 AD,交 x 轴于点 P,此时 1515 / 2323 PA+PB 的值最小,如图所示 点 B 的坐标为(-3,1), 点 D 的坐标为(-3,-1) 设直线 AD 的函数表达式为 y=mx+n, 将点 A(-1,3)、D(-3,-1)代入 y=mx+n 中, + = 2 3 + = 1,解得: = 2 = 5 , 直线 AD的函数表达式为 y=2x+5 当 y=2x+5=0 时,x=-5 2, 点 P的坐标为(-5 2,0) (3)SPAB=SABD-SB
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