2018-2019学年广东省佛山市顺德区高一（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年广东省佛山市顺德区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若向量（3，2），（5，2），则点B的坐标为（）A（1，7）B（2，4）C（1，3）D（5，3）2（5分）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（）ABCD3（5分）下列结论正确的是（）A若acbc，则abB若a2b2，则abC若ab，c0，则acbcD若，则ab4（5分）不等式log2（x24x+5）1的解集为（）A（1，3）B（3，1）C（，3）（1，+）D（，1）（3，+

2、）5（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若acosAbcosB0，则ABC一定是（）A直角三角形B等腰直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形6（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知A45，a2，b，则B为（）A60B60或120C30D30或1507（5分）等差数列中，a1+a2+a324，a18+a19+a2078，则此数列前20项和等于（）A160B180C200D2208（5分）已知x、y的取值如表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程y0.95x+a，则当x5时，估计y的值为（）A7.1B7.35C7.95D8.69（5分）在等比数列a

3、n中，已知a12，且有a4a64a72，则a3（）A1B2CD10（5分）某中学高一年级甲班有7名学生，乙班有8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是82，若从成绩在80，90）的学生中随机抽取两名学生，则两名学生的成绩都高于82分的概率为（）ABCD11（5分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若+，则+（）A2BCD12（5分）在数列an，bn中，已知a11，且an，an+1是函数f（x）x2bnx+2n的两个零点，则b10（）A64B48C32D2二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5

4、分）某单位共有200名职工参加了50公里徒步活动，其中青年职工与老年职工的人数比为10：1，中年职工有24人，现采取分层抽样的方法抽取50人参加对本次活动满意度的调查，那么应抽取老年职工的人数为   人14（5分）在ABC中，两直角边和斜边分别为a，b，c若a+bcx，则实数x的取值范围是   15（5分）一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为   海里/小时16（5分）已知点P是矩形ABCD边上的一动点，AB3，AD4，则的取值范围是   三、解答题（本大题共

5、6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知向量（x，2），（1，3），且（）（）求向量在上的投影；（）求（+）（2）18（12分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且S37，S663（）求数列an的通项公式；（）记bn2log2an+1，求an+1bn的前n项和Tn19（12分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的面积为，且sinCcosC0（）求边长c；（）若ABC的面积为，求ABC的周长20（12分）随着互联网的不断发展，手机打车软件APP也不断推出在某地有A、B两款打车APP，为了调查这两款软件叫车后等候的时间，用这两款APP分别

6、随机叫了50辆车，记录了候车时间如表：A款软件候车时间（分钟）0，2（2，4（4，6（6，8（8，10（10，12车辆数212812142B款软件候车时间（分钟）0，2（2，4（4，6（6，8（8，10（10，12车辆数21028721（）试画出A款软件候车时间的频率分布直方图，并估计它的众数及中位数；（）根据题中所给的数据，将频率视为概率（1）能否认为B款软件打车的候车时间不超过6分钟的概率达到了75%以上？（2）仅从两款软件的平均候车时间来看，你会选择哪款打车软件？21（12分）设二次函数f（x）x2+mx（）若对任意实数m0，1，f（x）0恒成立，求实数x的取值范围；（）若存在x03，4

7、，使得f（x0）4成立，求实数m的取值范围22（12分）已知an是等差数列，bn满足b11，b22，且数列anbn的前n项和Sn（2n3）2n+3（）求数列an和bn的通项公式；（）令cn，数列cn的前n项和为Tn，求证：Tn12018-2019学年广东省佛山市顺德区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若向量（3，2），（5，2），则点B的坐标为（）A（1，7）B（2，4）C（1，3）D（5，3）【分析】可求出，可知O为原点，从而得出点B的坐标为（2，4）【解答】解：；点B的坐标

8、为（2，4）故选：B【点评】考查向量加法的几何意义，以及向量坐标的加法运算，根据点的坐标求向量的坐标的方法2（5分）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（）ABCD【分析】掷一枚均匀的硬币，每次正面向上的概率都是【解答】解：掷一枚均匀的硬币，每次正面向上的概率都是，连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）下列结论正确的是（）A若acbc，则abB若a2b2，则abC若ab，c0，则acbcD若，则ab【分析】举例判断

9、A，B根据不等式的性质判断C，D【解答】解：对于A：若c0，则A不成立，对于B：例如a1，b2满足a2b2，但是ab，则B不成立，对于C：根据不等式的性质即可判断成立，对于D：若，则ab，则D不成立，故选：C【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题4（5分）不等式log2（x24x+5）1的解集为（）A（1，3）B（3，1）C（，3）（1，+）D（，1）（3，+）【分析】由题意利用对数函数的性质，求得x的范围【解答】解：由不等式log2（x24x+5）1，可得 0x24x+52，即，求得1x3，故选：A【点评】本题主要考查对数不等式的解法，对数函数的性质，属于基础题5（5分）在ABC中，角A

10、，B，C的对边分别为a，b，c若acosAbcosB0，则ABC一定是（）A直角三角形B等腰直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【分析】利用正弦定理由acosAbcosB可得sinAcosAsinBcosB，再利用二倍角的正弦即可判断ABC的形状【解答】解：在ABC中，acosAbcosB，由正弦定理得：sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，2A2B或2A2B，AB或A+B，ABC的形状为等腰三角形或直角三角形故选：D【点评】标题考查三角形的形状判断，考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题6（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知A45，a2

11、，b，则B为（）A60B60或120C30D30或150【分析】判断角A，B的大小，利用正弦定理进行求解即可【解答】解：A45，a2，b，ab，则BA，即B45，由正弦定理得，即sinB，则B30，故选：C【点评】本题主要考查正弦定理的应用，判断A，B的大小是解决本题的关键7（5分）等差数列中，a1+a2+a324，a18+a19+a2078，则此数列前20项和等于（）A160B180C200D220【分析】先根据a1+a2+a324，a18+a19+a2078可得到a1+a2018，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案【解答】解：a1+a2+a324，a18+a19+a2078a1+a2

12、0+a2+a19+a3+a18543（a1+a20）a1+a2018180故选：B【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用考查等差数列的性质8（5分）已知x、y的取值如表：x0134y2.24.34.86.7从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程y0.95x+a，则当x5时，估计y的值为（）A7.1B7.35C7.95D8.6【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得a，然后取x5得答案【解答】解：，样本点的中心的坐标为（2，4.5），代入y0.95x+a，得4.50.952+a，a2.6回归方程为y0.95x+2.6，取x5，得y0.955+2.67.35故选：B

13、【点评】本题考查回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题9（5分）在等比数列an中，已知a12，且有a4a64a72，则a3（）A1B2CD【分析】由a4a64a72 可得a12q84a12q12，解方程求得 q2，再根据a3a1q2 求出结果【解答】解：设等比数列an的公比为q，则由a4a64a72，可得a12q84a12q12，q2a3a1q221故选：A【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，通项公式，求出 q2，是解题的关键10（5分）某中学高一年级甲班有7名学生，乙班有8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生

14、成绩的中位数是82，若从成绩在80，90）的学生中随机抽取两名学生，则两名学生的成绩都高于82分的概率为（）ABCD【分析】由甲班学生的平均分是85，求出x5由乙班学生成绩的中位数是82，求出y3，从而成绩在80，90）的学生有6人，其中成绩高于82分的有3人，由此能求出两名学生的成绩都高于82分的概率【解答】解：甲班学生的平均分是85，（78+79+80+80+x+85+92+96）85，解得x5乙班学生成绩的中位数是82，82，解得y3，成绩在80，90）的学生有6人，其中成绩高于82分的有3人，从成绩在80，90）的学生中随机抽取两名学生，基本事件总数n15，两名学生的成绩都高于82分包

15、含的基本事件个数m，两名学生的成绩都高于82分的概率为p故选：D【点评】本题考查概率的求法，考查茎叶图、平均数、中位数、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题11（5分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若+，则+（）A2BCD【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出，【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则（1，），（，1），（1，1）+，解得+故选：D【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题12（5分）在数列an，bn中，已知a11，且an，an+1是函数f（x）x2bnx+2n的两个零点

16、，则b10（）A64B48C32D2【分析】由韦达定理，得出，所以，两式相除得2，数列an中奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列求出a10，a11后，先将即为b10【解答】解：由已知，所以，两式相除得2所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，成等比数列而a11，a22，所以a1022432a1112532，又an+an+1bn，所以b10a10+a1164故选：A【点评】本题考查了韦达定理的应用，等比数列的判定及通项公式求解，考查转化、构造、计算能力二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）某单位共有200名职工参加了50公里徒步活动，其中青年职工与老年职工的人

17、数比为10：1，中年职工有24人，现采取分层抽样的方法抽取50人参加对本次活动满意度的调查，那么应抽取老年职工的人数为4人【分析】推导出青年职工有160人，老年职工有16人，由此利用分层抽样的方法能求出应抽取老年职工的人数【解答】解：某单位共有200名职工参加了50公里徒步活动，其中青年职工与老年职工的人数比为10：1，中年职工有24人，青年职工有160人，老年职工有16人，现采取分层抽样的方法抽取50人参加对本次活动满意度的调查，那么应抽取老年职工的人数为：504，故答案为：4【点评】本题考查抽取的老年职工人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）在AB

18、C中，两直角边和斜边分别为a，b，c若a+bcx，则实数x的取值范围是（1，【分析】由a+bcx得，x，由正弦定理得sin（A+45），由此能确定实数x的取值范围【解答】解：由a+bcx得，x，由题意得在ABC中，C90，则A+B90，由正弦定理得：sinA+cosAsin（A+45），由A（0，90）得，A+45（45，135），所以sin（A+45）（，1，即 sin（A+45）（1，（1，x（1，故答案为：（1，【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、三角函数性质的合理运用15（5分）一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75距塔64海

19、里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为8海里/小时【分析】根据题意可求得MPN和，PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案【解答】解：如图所示，MPN75+45120，PNM45在PMN中，MN32，v8（海里/小时）故答案为：8【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用解答关键是利用正弦定理建立边角关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力16（5分）已知点P是矩形ABCD边上的一动点，AB3，AD4，则的取值范围是4，0【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，计算数量积的值，再求它的取值范围【解答】解：建

20、立平面直角坐标系如图所示，则A（0，0），B（0，3），C（4，3），D（4，0），点P在AB上时，设P（0，y），y0，3；（0，y），（4，y3），y（y3）（y23y），0， 点P在BC上时，设P（x，3），x0，4；（x，3），（x4，0），x（x4）（x24x）4，0；点P在CD上时，设P（4，y），y0，3；（4，y），（0，y3），y（y3）（y23y）2，0；综上，的取值范围是4，0故答案为：4，0【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知向量（x，2），（1，3），且（）（

21、）求向量在上的投影；（）求（+）（2）【分析】（）利用（）时数量积为0列方程求得x的值，再计算向量在上的投影；（）由平面向量的坐标运算和数量积运算，计算即可【解答】解：（）向量（x，2），（1，3），则（x1，1），由（），得（x1）30，解得x4，所以（4，2），所以向量在上的投影为：|cos；（）由+（5，5），2（7，1），计算（+）（2）57+（5）（1）40【点评】本题考查了平面向量的坐标运算和数量积计算问题，是基础题18（12分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且S37，S663（）求数列an的通项公式；（）记bn2log2an+1，求an+1bn的前n项和Tn【分析】（）设等比

22、数列an的首项为a1，公比为q，显然q1，由已知列关于a1与q的方程组，求得a1与q，则数列an的通项公式可求；（）把数列an的通项公式代入bn2log2an+1，利用错位相减法求an+1bn的前n项和Tn【解答】解：（）设等比数列an的首项为a1，公比为q，显然q1S37，S663，解得；（）bn2log2an+12n1，an+1bn（2n1）2n，则+（2n1）2n+（2n1）2n+1得：6（2n3）2n+1则【点评】本题考查等比数列的前n项和，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，是中档题19（12分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的面积为，且sinCcos

23、C0（）求边长c；（）若ABC的面积为，求ABC的周长【分析】（）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanC，结合范围C（0，），可得C，利用圆的面积公式可求R，利用正弦定理可求AB的值（）根据（），由余弦定理，三角形的面积公式可求a+b的值，即可得解三角形的周长【解答】解：（）sinCcosC0，可得：tanC，C（0，），C，R2，R，如图，连接BO并延长交圆O于D，连接AD，则ABBDsinD2RsinC2，（）根据（），由余弦定理可得：7a2+b22ab，（a+b）23ab7，SabsinCab，解得：ab6，（a+b）2187，解得：a+b5，ABC的周长为5+【点评】本题主要考查

24、了同角三角函数基本关系式，圆的面积公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题20（12分）随着互联网的不断发展，手机打车软件APP也不断推出在某地有A、B两款打车APP，为了调查这两款软件叫车后等候的时间，用这两款APP分别随机叫了50辆车，记录了候车时间如表：A款软件候车时间（分钟）0，2（2，4（4，6（6，8（8，10（10，12车辆数212812142B款软件候车时间（分钟）0，2（2，4（4，6（6，8（8，10（10，12车辆数21028721（）试画出A款软件候车时间的频率分布直方图，并估计它的众数及中位数；（）根据题中所给

25、的数据，将频率视为概率（1）能否认为B款软件打车的候车时间不超过6分钟的概率达到了75%以上？（2）仅从两款软件的平均候车时间来看，你会选择哪款打车软件？【分析】（）根据题意画出A款软件候车时间的频率分布直方图，由频率分布直方图估计这组数据的众数和中位数；（）（1）计算B款软件打车的候车时间不超过6分钟的概率即可；（2）分别计算A、B两款软件的平均候车时间，比较即可【解答】解：（）根据题意画出A款软件候车时间的频率分布直方图，如图所示；由频率分布直方图估计这组数据的众数为（8+10）9，它的中位数为6+26.5；（）（1）B款软件打车的候车时间不超过6分钟的概率为0.80.75，所以可以认为B

26、款软件打车的候车时间不超过6分钟的概率达到了75%以上；（2）A款软件的平均候车时间为（12+312+58+712+914+112）506.2（分钟），B款软件的平均候车时间为（12+310+528+77+92+112）505（分钟），所以选择B款打车软件【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数与平均数的计算问题，是基础题21（12分）设二次函数f（x）x2+mx（）若对任意实数m0，1，f（x）0恒成立，求实数x的取值范围；（）若存在x03，4，使得f（x0）4成立，求实数m的取值范围【分析】（I）m的范围已知，要求x的范围，所以要把m当成自变量，把x当成参数来考虑；（II

27、）f（x）是开口向上的二次函数，性质比较清楚，所以直接讨论对称轴的位置即可【解答】（I）由题意，xm+x20对于m0，1恒成立，令g（m）xm+x2i当x0时，g（m）在0，1上单调递减，所以只需要g（1）x+x20，解得x（，1）（0，+）；ii当x0时，g（m）0，所以不成立；iii当x0时，g（m）在0，1上单调递增，所以只需要g（0）x20，解得x0综上x（，1）（0，+）（II）二次函数f（x）开口向上，对称轴为xi当m6时，3，所以f（x）在区间3，4上单调递增存在x03，4，使得f（x0）4，只需要f（3）93m4，解得m，又m6，所以m6；ii当8m6时，34，所以f（x）在区

28、间3，4上得最小值为f（）存在x03，4，使得f（x0）4，只需要f（）4，解得m4或m4，又8m6，所以m8，44，6；iii当m8时，4，所以f（x）在区间3，4上单调递减存在x03，4，使得f（x0）4，只需要f（4）16+4m4，解得m5，又m8，所以m8综上，m（，44，+）【点评】（I）一般来讲，已知范围得变量要作为自变量，要求范围得变量要作为参数；（II）分参也可以完成解答，比较两种方法，选用顺手的方法即可22（12分）已知an是等差数列，bn满足b11，b22，且数列anbn的前n项和Sn（2n3）2n+3（）求数列an和bn的通项公式；（）令cn，数列cn的前n项和为Tn，求

29、证：Tn1【分析】（）由已知数列的前n项和求得a1b1，得到a1，进一步求得a2，可得等差数列an的公差，求得数列an的通项公式，再求出anbn，即可求得bn的通项公式；（）把数列an的通项公式代入cn，整理后利用裂项相消法求数列cn的前n项和为Tn，可得Tn1【解答】（）解：由Sn（2n3）2n+3，得S1a1b11，又b11，a11，a2b2S2S16，又b22，a23，则da2a12，则an2n1；当n1时，2n1（2n1）2n1，又an2n1，当n1时，符合bn的通项公式为；（）证明：由（1）得，cn，1【点评】本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题