2018-2019学年广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1（5分）关于x的不等式0的解集为（）A0，2B（0，2C（，0）2，+）D（，0）（2，+）2（5分）在ABC中，a、b、c满足a2+b2+c2ab+bc+ac，则ABC一定是（）A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形3（5分）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则（）ABCD4（5分）若直线l1：ax+2y80与直线l2：x+（a+1）y+40平行，则a的值为（）A1B1或2C2D1或25（5分）如图，在ABC中，BAC90，AD是BC边上的高，PA平面ABC，则图中直角三角形的个

2、数是（）A5B6C8D106（5分）角的终边在直线y2x上，则（）AB1C3D17（5分）已知三棱锥OABC，侧棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OAOBOC2，则以O为球心且1为半径的球与三棱锥OABC重叠部分的体积是（）ABCD8（5分）已知A、B、C是圆O：x2+y24上的三点，+，（）A6B6C6D69（5分）如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于的二面角B'ACD，M，N分别为AC，B'D的中点，若，则线段MN长度的取值范围为（）A，B，C，D1，10（5分）已知圆x2+y2+2x6y+5a0关于直线yx+b成轴对称图形，则ba的取值范围（）A（0，

3、8）B（，8）C（，16）D（0，16）11（5分）已知函数f（x）（）xlog2x，正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）0若实数d是方程f（x）0的一个解，那么下列四个判断：da；db；dc；dc中一定不成立的是（）ABCD12（5分）已知实数x，y满足（x2）2+（y5）24，则的最大值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）在等比数列an中，已知a1+a2+a31，a2+a3+a42，则a8+a9+a10   14（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CC1的中点，则AE、BF所成的角

4、的余弦值是   15（5分）已知P为直线l：x+3y120上一点，过P作圆C：（x2）2+y21的切线，则切线长最短时的切线方程为   16（5分）下列说法中：若x，y0，满足x+y2，则2x+2y的最大值为4；若x，则函数y2x+的最小值为3；若x，y0，满足x+y+xy3，则x+y的最小值为2；函数y+的最小值为9正确的有   （把你认为正确的序号全部写上）三、解答题：本大题共6小题，共70分.17（10分）设数列an的前n项和为Sn，若a12且SnSn1+2n（n2，nN*）（）求Sn；（）若数列bn满足，求数列bn的前n项和Tn18（12分）设锐角三角形A

5、BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA（）求B的大小；（）若b6，求a+c的取值范围19（12分）已知四棱锥SABCD的底面ABCD是菱形，ABC，SA底面ABCD，E是SC上的任意一点（1）求证：平面EBD平面SAC；（2）设SAAB2，求点A到平面SBD的距离；（3）在（2）的条件下，若BESC，求BE与平面SAC所成角20（12分）新余到吉安相距120千米，汽车从新余匀速行驶到吉安，速度不超过120km/h，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，（1）把全程运输成本y

6、（元）表示为速度v（km/h）的函数；并求出当a50，b时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；（2）随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当a，b，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小21（12分）已知函数f（x）ax2（a+1）x+1，aR（1）当a0时，求函数y的定义域；（2）若存在m0使关于x的方程f（|x|）m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知以点C（a1，a2）（a0）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线2x+y+m0（mR）与圆C交于M，N两点，且点F（，）为线段MN的中点（）求m的值和圆C的方程；（）

7、若Q是直线y2上的动点，直线QA，QB分别切圆C于A，B两点，求证：直线AB恒过定点；（）若过点P（0，t）（0t1）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当CDE的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u2018-2019学年广东省实验中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1（5分）关于x的不等式0的解集为（）A0，2B（0，2C（，0）2，+）D（，0）（2，+）【分析】可将原不等式变成，从而解出该分式不等式即可【解答】解：由原不等式得，；解得0x2；原

8、不等式的解集为（0，2故选：B【点评】考查分式不等式的解法2（5分）在ABC中，a、b、c满足a2+b2+c2ab+bc+ac，则ABC一定是（）A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形【分析】把已知等式整理成完全平方式，确定abc，进而推断三角形的形状【解答】解：a2+b2+c2ab+bc+ac，等式两边同乘以2，得2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ac，整理得（ac）2+（bc）2+（ab）20，abc，故选：A【点评】本题主要考查了解三角形问题解题的关键是利用平方关系，进行配方，确定a，b和c的关系3（5分）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则（）ABCD【分析】由题意结

9、合等差数列的性质可得S4，S8S4，S12S8，S16S12是以S4为首项，以3S4为公差的等差数列，求得S85S4，S1622S4，则答案可求【解答】解：在等差数列an中，S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，又，则S4，S8S4，S12S8，S16S12是以S4为首项，以3S4为公差的等差数列，则S85S4，S1622S4，故选：D【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题4（5分）若直线l1：ax+2y80与直线l2：x+（a+1）y+40平行，则a的值为（）A1B1或2C2D1或2【分析】通过直线的斜率相等，截距不相等，判断直线平行，求出a的值【解答

10、】解；直线l1：ax+2y80，它的斜率为，斜率存在，两条直线平行则直线l2：x+（a+1）y+40的斜率为所以解得a1，或a2当a2时两条直线重合，舍去，所以a1时两条直线平行故选：A【点评】此题为中档题，要求学生会利用代数的方法研究图象的位置关系，做此题时要注意直线的斜率是否存在，分情况讨论得到所求的范围5（5分）如图，在ABC中，BAC90，AD是BC边上的高，PA平面ABC，则图中直角三角形的个数是（）A5B6C8D10【分析】由PA平面ABC，得出PAB、PAD、PAC是直角三角形；由BAC90，得出ABC是直角三角形；由ADBC，得出ABD，ACD是直角三角形；由BC平面PAD，得

11、出PBD，PCD是直角三角形【解答】解：PA平面ABC，PAAB，PAAC，PAB，PAD，PAC都是直角三角形；BAC90，ABC是直角三角形；ADBC，ABD，ACD是直角三角形；由PABC，ADBC，得BC平面PAD，BCPD，PBD，PCD是直角三角形；综上知，直角三角形的个数为8个故选：C【点评】本题考查了空间中垂直关系判断与应用问题，是基础题6（5分）角的终边在直线y2x上，则（）AB1C3D1【分析】由已知求得tan，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解【解答】解：角的终边在直线y2x上，tan2故选：C【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的

12、应用，是基础题7（5分）已知三棱锥OABC，侧棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OAOBOC2，则以O为球心且1为半径的球与三棱锥OABC重叠部分的体积是（）ABCD【分析】由题意画出图形，可得以O为球心且1为半径的球与三棱锥OABC重叠部分为球的，然后结合球的体积公式求解【解答】解：三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OAOBOC2，以O为球心且1为半径的球与三棱锥OABC重叠部分为球的，即对应的体积V故选：B【点评】本题考查空间几何体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题8（5分）已知A、B、C是圆O：x2+y24上的三点，+，（）A6B6C6D6【分析】由+两边

13、同时平方，结合已知可求AOB，进而可求OAB，代入向量的数量积的定义即可求解【解答】解：由于A、B、C是圆O：x2+y24上的三点，+，两边同时平方可得，OAOBOC2，cosAOB，AOB120，OAB30，2，|cos3026故选：A【点评】本题主要考查了平面向量的数量积的定义及运算性质的简单应用，属于基础试题9（5分）如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于的二面角B'ACD，M，N分别为AC，B'D的中点，若，则线段MN长度的取值范围为（）A，B，C，D1，【分析】连结BM，DM，得ACBM，ACDM，从而DMB是二面角BACD的平面角，且BMDM，由此

14、能求出线段MN长度的取值范围【解答】解：连结BM，DM，得ACBM，ACDM，DMB是二面角BACD的平面角，且BMDM，在等腰DMB中，MNBD，且DMN，则MNDMcos，线段MN长度的取值范围为，故选：A【点评】本题考查线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10（5分）已知圆x2+y2+2x6y+5a0关于直线yx+b成轴对称图形，则ba的取值范围（）A（0，8）B（，8）C（，16）D（0，16）【分析】根据圆关于直线成轴对称图形得b4，根据二元二次方程表示圆得a2，再根据指数函数的单调性得4a的取值范围【解答】解：圆x2

15、+y2+2x6y+5a0关于直线yx+b成轴对称图形，圆心（1，3）在直线yx+b上，31+b，解得b4又圆的半径r0，a2，ba4a（0，16）故选：D【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题11（5分）已知函数f（x）（）xlog2x，正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）0若实数d是方程f（x）0的一个解，那么下列四个判断：da；db；dc；dc中一定不成立的是（）ABCD【分析】根据所给条件即可得出f（x）在（0，+）上单调递减，并且得出abc，f（d）0，再根据f（a）f（b）f（c）0，从而可看出存在两种情况：f（a），f（b）0，f（c）0和

16、f（a），f（b），f（c）0，这样即可得出a，b，c，d的大小关系，从而得出一定不成立的是【解答】解：根据条件知，abc，f（x）在（0，+）上单调递减，且f（a）f（b）f（c）0，f（d）0；当f（a），f（b）0，f（c）0时，f（d）0，则abdc，成立；当f（a），f（b），f（c）0时，f（d）0，则dabc，成立；综上，一定不成立的是故选：D【点评】考查等差数列的定义，指数函数、对数函数的单调性，以及减函数的定义12（5分）已知实数x，y满足（x2）2+（y5）24，则的最大值为（）ABCD【分析】当x0或y1时，原式的值为0；当x0，y1时，原式，可令k，即为直线l：kxy+

17、10，可先求过（0，1）与（x，y）的直线l的斜率的范围考虑直线与圆相切的条件，求得相切的斜率，可得k的范围，再由对勾函数的单调性，可得所求最大值【解答】解：当x0或y1时，0；当x0，y1时，可得，可令k，即为直线l：kxy+10，可先求过（0，1）与（x，y）的直线l的斜率的范围由（x，y）落在圆（x2）2+（y5）24上，若l与圆相切，则2，解得k，又l与圆相切的直线还有x0，可得过（0，1）与（x，y）的直线l的斜率的范围为，+），又+2k，由对勾函数的单调性可得k（0，）递减，（，+）递增，k时，+2k取得最小值，即+的最小值为，则的最大值为故选：B【点评】本题考查代数式的最值求法，

18、运用变形和几何意义，结合直线和圆的位置关系，以及函数的单调性是解题的关键，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）在等比数列an中，已知a1+a2+a31，a2+a3+a42，则a8+a9+a10128【分析】设等比数列an的公比为q，由a1+a2+a31，a2+a3+a42，可得q（a1+a2+a3）2，解得q可得a8+a9+a10q7（a1+a2+a3）【解答】解：设等比数列an的公比为q，a1+a2+a31，a2+a3+a42，q（a1+a2+a3）2，解得q2则a8+a9+a10q7（a1+a2+a3）271128故答案为：128【点评】本题考查了等比数

19、列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CC1的中点，则AE、BF所成的角的余弦值是【分析】先作出异面直线AE、BF所成的角，再在AEG中利用余弦定理即可得解【解答】解：取DD1的中点G，连接AG，则AGBF，则EAG为异面直线AE、BF所成的角，设AB2，则AEAG，EG2，在AEG中，cosEAG，故答案为：【点评】本题考查了异面直线所成角的作法及求法，属中档题15（5分）已知P为直线l：x+3y120上一点，过P作圆C：（x2）2+y21的切线，则切线长最短时的切线方程为x3或4x3y30【分析】根据圆的

20、方程求出圆心坐标和半径，结合切线长最短转化为C到直线l的距离最短，求出P的坐标，结合圆的切线性质，进行求解即可【解答】解：圆心C（2，0），半径R1，过P作圆的切线PA，|PA|，要使切线长PA最短，即CP最短，当CP垂直直线l时，CP最短，l的斜率为k，则CP的斜率k3，则此时CP的方程为y3（x2）3x6，由得，即点P的坐标（3，3），当直线方程为x3时，圆心C到直线的距离为1，所以直线x3与圆C相切，满足条件，当过P的切线斜率存在时，设切线方程为y3k（x3），即kxy+33k0，则圆心C到切线的距离d1，即|k3|，解得k，切线方程为xy+330，即4x3y30，综上，切线长最短时，切

21、线方程为x3或4x3y30故答案为：x3或4x3y30【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，结合切线长最短，确定P的位置，结合直线和圆相切的性质是解决本题的关键16（5分）下列说法中：若x，y0，满足x+y2，则2x+2y的最大值为4；若x，则函数y2x+的最小值为3；若x，y0，满足x+y+xy3，则x+y的最小值为2；函数y+的最小值为9正确的有（把你认为正确的序号全部写上）【分析】运用基本不等式，结合指数的运算性质，可判断；由a，b0，a+b2，可判断；由xy，解不等式可判断；由两角的平方关系和乘“1”法，运用基本不等式可判断【解答】解：对于，若x，y0，满足x+y2，则2x+2

22、y2224，当且仅当xy1时，取得最小值4，故错误；对于，若x，即2x10，则函数y2x+（2x1）+12+11，当且仅当x0，取得最大值1，无最小值，故错误；对于，若x，y0，满足x+y+xy3，由xy，可得3（x+y）+，解得x+y2，当且仅当xy1时，取得等号，即x+y的最小值为2，故正确；对于，函数y+（sin2x+cos2x）（+）5+5+29，当且仅当2sin2xcos2x，取得等号，即有函数的最小值为9，故正确故答案为：【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查化简变形能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.17（10分）设数列an的前n项和为Sn，若a12且S

23、nSn1+2n（n2，nN*）（）求Sn；（）若数列bn满足，求数列bn的前n项和Tn【分析】（）利用数列的递推关系式推出数列是等差数列，然后求解Sn；（）数列bn满足，推出数列bn是等比数列然后求解数列的前n项和Tn【解答】（本小题13分）解：（）因为SnSn1+2n（n2，nN*），所以anSnSn12n（n2，nN*）又因为a12，所以an2n（nN*）所以（），所以【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列求和的应用，考查计算能力18（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA（）求B的大小；（）若b6，求a+c的取值范围【分析】（）通过正弦定理，结

24、合角的范围，即可求B的大小；（）若b6，利用余弦定理，结合基本能不等式求a+c的取值范围【解答】解：（）锐角，SinA0又，；（），b6，即：a2+c2ac36即：（a+c）23ac36（a+c）2144a+c12又a+cb6，a+c的取值范围为：6a+c12【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，基本不等式的应用，是中档题19（12分）已知四棱锥SABCD的底面ABCD是菱形，ABC，SA底面ABCD，E是SC上的任意一点（1）求证：平面EBD平面SAC；（2）设SAAB2，求点A到平面SBD的距离；（3）在（2）的条件下，若BESC，求BE与平面SAC所成角【分析】（1）

25、推导出SABD，从而ACBD，进而BD平面SAC，由此能证明平面EBD平面SAC（2）设ACBDF，连结SF，则SFBD，推导出AC2，BD2，AF1，由此能求出点A到平面SBD的距离（3）由BD平面SAC，得BEF为BE与平面SAC所成角，由此能求出BE与平面SAC所成角的正切值【解答】解：（1）证明：SA平面ABCD，BD平面ABCD，SABD，四边形ABCD是菱形，ACBD，ACASA，BD平面SAC，BD平面EBD，平面EBD平面SAC（2）设ACBDF，连结SF，则SFBD，AB2，四边形ABCD是菱形，ABC，AC2，BD2，AF1，SA2，SF，点A到平面SBD的距离为（3）由（

26、1）得BD平面SAC，BEF为BE与平面SAC所成角，BDSC，BESC，SC平面BED，SCEF，EF，BF，tanBEF，BE与平面SAC所成角为arctan【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）新余到吉安相距120千米，汽车从新余匀速行驶到吉安，速度不超过120km/h，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km

27、/h）的函数；并求出当a50，b时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；（2）随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当a，b，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小【分析】（1）由题意知，汽车从新余匀速到吉安所用时间为，全程成本为y（bv2+a）120（bv+），v（0，120；代入a50，b，利用基本不等式求解；（2）注意到y120（v+）时，利用基本不等式取不到等号，故转而应用函数的单调性求最值【解答】解：（1）由题意知，汽车从新余匀速到吉安所用时间为，全程成本为y（bv2+a）120（bv+），v（0，120；当a50，b时，y120（v+）240120（当且

28、仅当v100时取等号）所以汽车应以100km/h的速度行驶，能使得全程运输成本最小 （2）当a，b时，y120（v+），由双勾函数的单调性可知v120时，y有最小值所以汽车应以120km/h的速度行驶，才能使得全程运输成本最小【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题21（12分）已知函数f（x）ax2（a+1）x+1，aR（1）当a0时，求函数y的定义域；（2）若存在m0使关于x的方程f（|x|）m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围【分析】（1）由题意，f（x）ax2（a+1）x+10，讨论a，求定义域；（2）令tm+2，则原命题可化为a

29、x2（a+1）x+1t0有两个不同的正根，从而解得【解答】解：（1）由题意，f（x）ax2（a+1）x+10，即（ax1）（x1）0，当0a1时，函数y的定义域为x|x或x1，当a1时，函数y的定义域为R，当a1时，函数y的定义域为x|x1或x；（2）令tm+2，则关于x的方程f（|x|）t有四个不同的实根可化为a|x|2（a+1）|x|+1t0有四个不同的实根，即ax2（a+1）x+1t0有两个不同的正根，则，解得a32【点评】本题考查了定义域的求法即二次不等式的解法，同时考查了二次方程的根的位置判断，属于中档题22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知以点C（a1，a2）（a0）为圆心的

30、圆过原点O，不过圆心C的直线2x+y+m0（mR）与圆C交于M，N两点，且点F（，）为线段MN的中点（）求m的值和圆C的方程；（）若Q是直线y2上的动点，直线QA，QB分别切圆C于A，B两点，求证：直线AB恒过定点；（）若过点P（0，t）（0t1）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当CDE的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u【分析】（）由题意，求出kCF，解得a的值，可得圆心坐标和半径，由圆心到直线2x+y+m0的距离可解得m值，则m的值和圆C的方程可求；（）设Q（t，2），则求出QC的中点坐标，以QC为直径的圆的方程可求，联立，可得AB所在直线方程，

31、则可证明直线AB恒过定点；（）由题意可设直线l的方程为ykx+t，ABC的面积为S，则SsinACB，当sinACB最大时，S取得最大值，要使sinACB，只需点C到直线l的距离等于，即，整理得：k22（t1）210，解得t1，然后分类讨论即可求出答案【解答】（）解：由题意，即2a2a10，解得a1（a0）圆心坐标为（0，1），半径为1，由圆心到直线2x+y+m0的距离d，可得m0或m2，点F（，）在直线2x+y+m0上，m2故m2，圆C的方程为x2+（y1）21；（）证明：设Q（t，2），则QC的中点坐标为（），以QC为直径的圆的方程为，即x2+y2tx+y20联立，可得AB所在直线方程为：

32、tx3y+20直线AB恒过定点（0，）；（）解：由题意可设直线l的方程为ykx+t，ABC的面积为S，则S|CA|CB|sinACBsinACB，当sinACB最大时，S取得最大值要使sinACB，只需点C到直线l的距离等于，即，整理得：k22（t1）210，解得t1当t0，1时，sinACB最大值是1，此时k22t24t+1，即u2t24t+1当t（1，1）时，ACB（，）ysinx是（，）上的减函数，当ACB最小时，sinACB最大过C作CDAB于D，则ACDACB，当ACD最大时，ACB最小sinCAD，且CAD（0，），当|CD|最大时，sinCAD取得最大值，即CAD最大|CD|CP|，当CPl时，|CD|取得最大值|CP|当ABC的面积最大时，直线l的斜率k0，u0综上所述，u【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，是难题