2017-2018学年广东省佛山市四校联考高一（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2017-2018学年广东省佛山市四校联考高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1（5分）已知：在ABC中，则此三角形为（）A直角三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形2（5分）设数列an是各项为正数的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a416，8，则S5（）A40B20C31D433（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）ABCD4（5分）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）Ai100，nn+1Bi10

2、0，nn+2Ci50，nn+2Di50，nn+25（5分）在ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b22c2，则角C的取值范围为（）A（0，B，）C，D（，6（5分）从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数之和能被3整除的概率是（）ABCD7（5分）由下表可计算出变量x，y的线性回归方程为（）x54321y21.5110.5A0.35x+0.15B0.35x+0.25C0.35x+0.15D0.35x+0.258（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本

3、容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A200，20B100，20C200，10D100，109（5分）若实数x，y满足，如果目标函数zxy的最小值为2，则实数m（）A8B0C4D810（5分）若log4（3a+4b）log2，则a+b的最小值是（）A6+2B7+2C6+4D7+411（5分）（理）已知数列an的通项公式ann2（6+2）n+2014，若a6或a7为数列an的最小项，则实数的取值范围（）A（3，4）B2，5C3，4D，12（5分）已知关于x的不等式x24ax+3a20（a0）的解集为（x1，x2），则的最大值是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13（5分）已知

4、a，b，c是ABC的三边，其面积S（b2+c2a2），角A的大小是   14（5分）（理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B，则事件AB的概率P（AB）   15（5分）等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，且满足a13，b11，b2+S210，a52b2a3，数列的前n项和Tn，若TnM对一切正整数n都成立，则M的最小值为   16（5分）若不存在整数x使不等式（kxk24）（x4）0成立，则实数k的取值范围是   三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17（10分）在ABC中

5、，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac已知2，cos B，b3求：（1）a和c的值；（2）cos（BC）的值18（12分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的

6、平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？19（12分）已知函数f（x）2cos2x+2sinxcosx求函数f（x）的最小正周期；在ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，若f（C）2，a+b4，求ABC的最大面积20（12分）高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组75，80），第2组80，85），第3组85，90），第4组90，95），第5组95，100，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生

7、才能获得面试资格（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；（3）如果从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人和2人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？21（12分）已知数列an的前n项为和Sn，点（n，）在直线yx+上数列bn满足bn+22bn+1+bn0（nN*），且b311，前9项和为153（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn，数列cn的前n项和为Tn，求使不等式Tn对一切nN*都成立的最大正整数k的值；（3）设nN*，f（n），问是否存在mN*，使得f（m+15）5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存

8、在，请说明理由22（12分）数列an中，a1a，an+1can+1c（nN*）a、cR，c0（1）求证：a1时，an1是等比数列，并求an通项公式（2）设，bnn（1an）（nN*）求：数列bn的前n项的和Sn（3）设、记dnc2nc2n1，数列dn的前n项和Tn证明：（nN*）2017-2018学年广东省佛山市四校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1（5分）已知：在ABC中，则此三角形为（）A直角三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形【分析】由条件可得sinCcosBcosCsinB，故sin（CB）0，再由CB，可得 CB

9、0，从而得到此三角形为等腰三角形【解答】解：在ABC中，则 ccosBbcosC，由正弦定理可得 sinCcosBcosCsinB，sin（CB）0，又CB，CB0，故此三角形为等腰三角形，故选：C【点评】本题考查正弦定理，两角差的正弦公式，得到sin（CB）0 及CB，是解题的关键2（5分）设数列an是各项为正数的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a416，8，则S5（）A40B20C31D43【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q0，a2a416，8，16，q38，解得q2，a11则S531故选：C【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，

10、考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）ABCD【分析】设ACx，则BC12x，由矩形的面积Sx（12x）20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求【解答】解：设ACx，则BC12x（0x12）矩形的面积Sx（12x）20x212x+2002x10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P故选：C【点评】本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题4（5分）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1

11、）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）Ai100，nn+1Bi100，nn+2Ci50，nn+2Di50，nn+2【分析】写出前三次循环的结果，观察归纳出和的最后一项的分母i的关系，得到判断框中的条件【解答】解：此时，经第一次循环得到的结果是，经第二次循环得到的结果是经第三次循环得到的结果是据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母2（i1）令2（i1）100解得i51即需要i51时输出故图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是分别是i50，nn+2故选：C【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构的有关的题目，常采用写出前几次循环的结果，找规律5（5分）在ABC中，角A，B，C所对

12、边长分别为a，b，c，若a2+b22c2，则角C的取值范围为（）A（0，B，）C，D（，【分析】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形后代入并利用基本不等式求出cosC，即可确定出C的取值范围【解答】解：a2+b22c2，c2，由余弦定理得：cosC（当且仅当ab时取等号），0C故选：A【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键6（5分）从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数之和能被3整除的概率是（）ABCD【分析】先求出基本事件总数，再由列举法求出所取两个数之和能被3整除包含的基本事件个数，由此能求出所取两个数之和能被3整除的概

13、率【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，基本事件总数n10，所取两个数之和能被3整除包含的基本事件有：（1，2），（1，5），（2，4），（4，5），共有m4个，所取两个数之和能被3整除的概率p故选：A【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用7（5分）由下表可计算出变量x，y的线性回归方程为（）x54321y21.5110.5A0.35x+0.15B0.35x+0.25C0.35x+0.15D0.35x+0.25【分析】利用平均数公式求得平均数，代入公式求回归系数，可得回归直线方程【解答】解：3，1.2，b0.35，

14、a1.20.3530.15，线性回归方程为y0.35x+0.15故选：A【点评】本题考查了线性回归方程是求法，利用最小二乘法求回归系数时，计算要细心8（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A200，20B100，20C200，10D100，10【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+450010000

15、，样本容量100002%200，分层抽样抽取的比例为，高中生抽取的学生数为40，抽取的高中生近视人数为4050%20故选：A【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键9（5分）若实数x，y满足，如果目标函数zxy的最小值为2，则实数m（）A8B0C4D8【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y2x1与直线x+ym的交点使目标函数zxy取得最小值，由可得，x，y代入xy2得 2，m8故选：A【点评】如果约束条件中

16、含有参数，先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值10（5分）若log4（3a+4b）log2，则a+b的最小值是（）A6+2B7+2C6+4D7+4【分析】利用对数的运算法则可得0，a4，再利用基本不等式即可得出【解答】解：3a+4b0，ab0，a0b0log4（3a+4b）log2，log4（3a+4b）log4（ab）3a+4bab，a4，a0b00，a4，则a+ba+a+a+3+（a4）+7+74+7，当且仅当a4+2取等号故选：D【点评】本题考查了对数的运算法则、基

17、本不等式的性质，属于中档题11（5分）（理）已知数列an的通项公式ann2（6+2）n+2014，若a6或a7为数列an的最小项，则实数的取值范围（）A（3，4）B2，5C3，4D，【分析】求出数列an的通项公式ann2（6+2）n+2014的对称轴，利用a6或a7为数列an的最小项，建立不等式，即可求出实数的取值范围【解答】解：由题意，数列an的通项公式ann2（6+2）n+2014的对称轴为n3+，a6或a7为数列an的最小项，5.53+7.5，2.54.5故选：D【点评】本题考查数列的函数性质，考查学生分析解决问题的能力，确定5.53+7.5是关键12（5分）已知关于x的不等式x24ax

18、+3a20（a0）的解集为（x1，x2），则的最大值是（）ABCD【分析】根据不等式x24ax+3a20（a0）的解集为（x1，x2），利用韦达定理求出，x1+x24a，带入利用基本不等式的性质求解【解答】解：不等式x24ax+3a20（a0）的解集为（x1，x2），根据韦达定理，可得：，x1+x24a，那么：4a+a0，（4a+）2，即4a+故的最大值为故选：D【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了基本不等式的性质的运用的能力和计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13（5分）已知a，b，c是ABC的三边，其面积S（b2+c2a2）

19、，角A的大小是【分析】由S（b2+c2a2），得bcsinA（b2+c2a2），利用余弦定理及同角三角函数的关系可求得tanA1，由A的范围可求A【解答】解：S（b2+c2a2），即bcsinA（b2+c2a2）2bccosA，tanA，由A为三角形的内角，A，故答案为：【点评】该题考查三角形的面积公式、余弦定理，属基础题，准确记忆公式并灵活运用是解题关键14（5分）（理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B，则事件AB的概率P（AB）【分析】由题意分别可得P（A），P（B），P（AB），而P（AB）P（A）+P（B）P（AB），代入计

20、算可得【解答】解：由题意抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数共6种可能，其中为偶数的有2，4，6三种可能，故P（A），向上的点数大于2且小于或等于5有3，4，5三种可能，故P（B），而积事件AB只有4一种可能，故P（AB），故P（AB）P（A）+P（B）P（AB）故答案为：【点评】本题考查古典概型的求解，涉及概率的基本性质和全概率公式，属基础题15（5分）等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，且满足a13，b11，b2+S210，a52b2a3，数列的前n项和Tn，若TnM对一切正整数n都成立，则M的最小值为10【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式分别求出an以及bn和的通项公式

21、，利用错位相减法进行求和，利用不等式恒成立进行求解即可【解答】解：设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由b2+S210，a52b2a3得，解得an3+2（n1）2n+1，则，Tn3+，所以Tn+，两式作差得Tn3+3+（1+）3+3+22（）n1，即Tn10（）n310，由TnM对一切正整数n都成立，M10，故M的最小值为10，故答案为：10【点评】本题主要考查数列通项公式的求解以及数列求和的计算，利用错位相减法是解决本题的关键考查学生的计算能力16（5分）若不存在整数x使不等式（kxk24）（x4）0成立，则实数k的取值范围是1k4【分析】设原不等式的解集为A，然后分k大于0且不等于2

22、，k等于2，小于0和等于0四种情况考虑，当k等于0时，代入不等式得到关于x的一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当k大于0且k不等于2时，不等式两边除以k把不等式变形后，根据基本不等式判断 与4的大小即可得到原不等式的解集；当k等于2时，代入不等式，根据完全平方式大于0，得到x不等于4，进而得到原不等式的解集；当k小于0时，不等式两边都除以k把不等式变形后，根据 小于4，得到原不等式的解集，综上，得到原不等式的解集；【解答】解：设原不等式的解集为A，当k0时，则x4，不合题意，当k0且k2时，原不等式化为x（ ）（x4）0，要使不存在整数x使不等式（kxk24）（x4）0成立，

23、须，解得：1k4；当k2时，A，合题意，当k0时，原不等式化为x（ ）（x4）0，A（，）（4，+），不合题意，故答案为：1k4【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，同时考查了运算能力，是一道中档题三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac已知2，cos B，b3求：（1）a和c的值；（2）cos（BC）的值【分析】（1）运用向量的数量积的定义和余弦定理，解方程即可得到所求a，c；（2）由余弦定理可得cosC，求得sinC，sinB，运用两角差的余弦公式，计算即可得到所求值【解答】解：（1）2，c

24、osB，b3，可得cacosB2，即为ac6；b2a2+c22accosB，即为a2+c213，解得a2，c3或a3，c2，由ac，可得a3，c2；（2）由余弦定理可得cosC，sinC，sinB，则cos（BC）cosBcosC+sinBsinC+【点评】本题考查三角形的余弦定理和向量的数量积的定义，以及三角函数的恒等变换公式，考查运算能力，属于中档题18（12分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台

25、每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【分析】（）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；（）写出总收视人次z60x+25y化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】（）解：由已知，x，y满足的数学关

26、系式为，即该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z60x+25y考虑z60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大又x，y满足约束条件，由图可知，当直线z60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组，得点M的坐标为（6，3）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题19（12分）已知函数f（x）2cos2x+2sinxcosx求函数f（x）的最小正周期；在ABC

27、中，a，b，c为内角A，B，C的对边，若f（C）2，a+b4，求ABC的最大面积【分析】利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数化简可得，f（x）2sin（2x+）+1，利用周期公式T可求由知，即，又0C 可求C，代入三角形的面积公式可求面积的最大值【解答】解：由已知f（x）2cos2x+2sinxcosxcos2x+1+sin2x2sin（2x+）+1                            （6分）由知，即又0C2C+当且仅当ab时， &nb

28、sp;                   （12分）【点评】本题主要考查了三角函数的二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，由三角函数值求角，基本不等式在函数最值求解中的应用20（12分）高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组75，80），第2组80，85），第3组85，90），第4组90，95），第5组95，100，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“

29、优秀”的学生才能获得面试资格（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；（3）如果从“优秀”和“良好”的学生中分别选出3人和2人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？【分析】（1）根据频率分步直方图的性质，根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率，根据各小组的频率之和为1求出第四组的频率，进一步补全频率分布直方图（2）第一、二两组的频率和为0.4，第三组的频率为0.3，所以中位数落在第三组，由此能求出笔试成绩的中位数（3）根据概率公式计算，事件“5位同学中抽两位同学”有10种可能，而且这些事

30、件的可能性相同，其中事件“至少有一人是“优秀”可能种数是9，那么即可求得事件M的概率【解答】解：（1）其它组的频率为（0.01+0.07+0.06+0.02）50.8，所以第4组的频率为0.2，频率分布图如图：（3分）（2）设样本的中位数为x，则50.01+50.07+（x85）0.060.5，（5分）解得，所以样本中位数的估计值为（6分）（3）依题意良好的人数为400.416人，优秀的人数为400.624人优秀与良好的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人             （8分）记“从这5人

31、中选2人至少有1人是优秀”为事件M，将考试成绩优秀的三名学生记为A，B，C，考试成绩良好的两名学生记为a，b从这5人中任选2人的所有基本事件包括：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个基本事件        （9分）事件M含的情况是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9个（10分）所以（12分）【点评】本题考查频率分步直方图的性质，考查等可能事件的概率，本题是一个概率与统计的综合题目21（12分）已知数列an的前n项为和Sn，点（n，）在直线yx+上数列bn满足bn+22bn+1+bn0（nN*），且b3

32、11，前9项和为153（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn，数列cn的前n项和为Tn，求使不等式Tn对一切nN*都成立的最大正整数k的值；（3）设nN*，f（n），问是否存在mN*，使得f（m+15）5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）点（n，）在直线yx+上，可得数列an的前n项和为Sn，利用公式anSnSn1，求出an的通项公式；又因为bn+22bn+1+bn0，所以数列bn为等差数列，根据等差数列的性质，求出bn的通项公式；（2）由（1）可知cn的通项公式，利用裂项法，求出前n项和Tn，根据不等式Tn求出k的值；（3）先假设存在满足条件的k存在

33、，求出f（n）解析式，然后按m为偶数、m为奇数两种情况进行讨论表示出f（m+15）5f（m）解出即可；【解答】解：（1）点（n，）在直线yx+上，n+，即Snn2+n，当n2时，anSnSn1n+5；当n11时，a1S16；满足上式；ann+5（3分）bn+22bn+1+bn0（nN*），bn+2bn+1bn+1bnb2b1数列bn是等差数列，b311，它的前9项和为153，设公差为d，则b1+2d11，9b1+d153，解得b15，d3bn3n+2（5分）（2）由（1）得，cn（），Tnb1+b2+b3+bn（1）+（）+（）+（）（1）（8分）Tn（1）在nN*上是单调递增的，Tn的最小值

34、为T1不等式Tn对一切nN*都成立，k19最大正整数k的值为18（10分）（3）nN*，f（n）11 w   分当m为奇数时，m+15为偶数，则有3（m+15）+25（m+5）解得m11（13分）当m为偶数时，m+15为奇数若f（m+15）5f（m）成立，m+15+55（3m+2）此时，不成立（15分）当m11时，f（m+15）5f（m）（16分）【点评】本题考查数列与函数的综合，涉及求数列的通项，数列的求和以及恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生的探究能力解决问题的能力，属中档题22（12分）数列an中，a1a，an+1can+1c（nN*）a、cR，c0（1）求证：a1时，an1是等比数列，并求an通项公式（2）设，bnn（1an）（nN*）求：数列bn的前n项的和Sn（3）设、记dnc2nc2n1，数列dn的前n项和Tn证明：（nN*）【分析】（1）an+1can+1c，可得an+11c（an1），从而可得a1时，an1是等比数列，即可求an通项公式；（2）求出数列bn的通项，利用错位相减法，可求数列的和；（3）确定数列dn的通项利用放缩法求和，即可证得结论【解答】（1）证明：an+1can+1c，an+11c（an1）【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，属于中档题