2017-2018学年广东省佛山一中高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2017-2018学年广东省佛山一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确填涂在答题卡上1（5分）设a，b，cR，且ab，则（）AacbcBa2b2Ca3b3D2（5分）在等差数列an中，已知a12，a2+a313，则a4+a5+a6等于（）A40B42C43D453（5分）在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC（）A1B2C3D44（5分）数列1，的一个通项公式是（）Aan（1）nBan（1）nCan（1）nDan（1）n5（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A

2、a5Ba7C5a7Da5 或 a76（5分）设正实数a，b满足a+b1，则（）A 有最大值 4B 有最小值 C 有最大值 Da2+b2 有最小值 7（5分）设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列“，已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“吉祥数列“，则数列bn的通项公式为（）Abnn1Bbn2n1Cbnn+1Dbn2n+18（5分）若A为三角形ABC的一个内角，且sinA+cosA，则这个三角形是（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D正三角形9（5分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）

3、：学段硬件建设（万元）师资年投入（万元/班）初中26/班4高中54/班6第一年因生源和环境等因素，全校总班级至少20个，至多30个，若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，则第一年利润最大为（）A70 万元B58 万元C60 万元D72 万元10（5分）已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin（BA）+sin（B+A）3sin2A，且c，C，则ABC的面积是（）ABCD或11（5分）已知数列xn满足xn+3xn，若x11，x2a（a1，a0），则数列xn的前2018项的和S2018为（）A669B670+aC1345+aD133812（5分）已知关于x的

4、不等式x2+bx+c0（ab1）的解集为空集，则T+的最小值为（）AB2CD4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答卷相应的横线上13（5分）不等式的解集是   14（5分）已知数列an是递增的等比数列，a1+a49，a2a38，则a6的值等于   15（5分）如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 nmile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20 nmile的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos的值为   16（5分）已知等比数列an的首项为a1，公比为

5、q，前n项和为Sn，记数列log2an的前n项和为Tn，若a1，且9，则当n   时，Tn有最小值三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知在ABC中，三边长a，b，c依次成等差数列（1）若sinA：sinB3：5，求cosC的值（2）若b1且，求ABC的面积18（12分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA2ccosC（1）求角C；（2）若，求ABC周长的取值范围19（12分）记号“”表示一种运算，即ab+a+，记f（x）（sin2x）（cos2x）（1）求函数yf（x）的表达式及最

6、小正周期；（2）若函数f（x）在xx0处取得最大值，若数列an满足annx0（nN*），求f（a1）+f（a2）+f（a3）的值20（12分）解关于x的不等式，ax22（a+1）x+4021（12分）已知数列an为等差数列，a11，an0，其前n项和为Sn，且数列也为等差数列（1）求an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和22（12分）设Sn为等差数列an的前n项和，其中a11，且（1）求常数的值，并写出an的通项公式；（2）记，数列bn的前n项和为Tn，若对任意的nk（kN*），都有，求常数k的最小值2017-2018学年广东省佛山一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题

7、：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确填涂在答题卡上1（5分）设a，b，cR，且ab，则（）AacbcBa2b2Ca3b3D【分析】利用不等式的基本性质，可得结论【解答】解：对于A，满足c0时成立；对于B，a1，b1，结论不成立；对于C，正确；对于D，a1，b1，结论不成立故选：C【点评】本题考查不等式的基本性质，比较基础2（5分）在等差数列an中，已知a12，a2+a313，则a4+a5+a6等于（）A40B42C43D45【分析】先根据a12，a2+a313求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a63a5求得答案【

8、解答】解：在等差数列an中，已知a12，a2+a313，得d3，a514，a4+a5+a63a542故选：B【点评】本题主要考查了等差数列的性质属基础题3（5分）在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC（）A1B2C3D4【分析】直接利用余弦定理求解即可【解答】解：在ABC中，若AB，BC3，C120，AB2BC2+AC22ACBCcosC，可得：139+AC2+3AC，解得AC1或AC4（舍去）故选：A【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力4（5分）数列1，的一个通项公式是（）Aan（1）nBan（1）nCan（1）nDan（1）n【分析】采用特殊值法来求解取n1代入

9、即可【解答】解：因为这是一道选择题，可以采用特殊值法来求解取n1代入，发现只有答案D成立，故选：D【点评】由于选择题自身的特点是只要答案，不要过程，所以在做能用数代入的题目时，可以直接代入求解，把过程简单化5（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）Aa5Ba7C5a7Da5 或 a7【分析】根据已知的不等式组画出满足条件的可行域，根据图形情况分类讨论，不难求出表示的平面区域是一个三角形时a的取值范围【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示：由图可知，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是：5a7故选：C【点评】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要

10、题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围6（5分）设正实数a，b满足a+b1，则（）A 有最大值 4B 有最小值 C 有最大值 Da2+b2 有最小值 【分析】由条件运用基本不等式可得0ab，运用变形和化简，即可判断正确结论【解答】解：正实数a，b满足a+b1，即有a+b2，可得0ab，即有+4，即有ab时，+取得最小值4，无最大值；由0，可得有最大值；由+，可得ab时，+取得最大值；由a2+b22ab可得2（a2+b2）（a+b）21，则a2+b2，当ab时，a2+b2取得最小值综上可得C正确，A，B，D均错故选：C【点评】本题考

11、查基本不等式的运用，注意变形和等号成立的条件，考查化简运算能力，属于中档题7（5分）设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列“，已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“吉祥数列“，则数列bn的通项公式为（）Abnn1Bbn2n1Cbnn+1Dbn2n+1【分析】设等差数列bn的公差为d（d0），再设k，由b11，得（4k1）dn+（2k1）（2d）0结合对任意正整数n上式恒成立，得，由此能求出数列bn的公差，代入等差数列的通项公式得答案【解答】解：设等差数列bn的公差为d（d0），由k，且b11，得n+n（n1）dk2n+2n（2n1）d，即2+（n1）d4

12、k+2k（2n1）d整理得，（4k1）dn+（2k1）（2d）0对任意正整数n上式恒成立，则，解得数列bn的公差为2，则其通项公式为bn1+2（n1）2n1，故选：B【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了恒成立思想的运用，考查了计算能力，属中档题8（5分）若A为三角形ABC的一个内角，且sinA+cosA，则这个三角形是（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D正三角形【分析】利用sinA+cosA，两边平方可得sinAcosA，进而判断出A是钝角【解答】解：sinA+cosA两边平方可得：sin2A+cos2A+2sinAcosA，化为sinAcosA，A（0，），sinA0，cosA

13、0A为钝角这个三角形是钝角三角形故选：A【点评】本题考查了三角函数的平方关系和正弦余弦函数的单调性，属于基础题9（5分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：学段硬件建设（万元）师资年投入（万元/班）初中26/班4高中54/班6第一年因生源和环境等因素，全校总班级至少20个，至多30个，若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，则第一年利润最大为（）A70 万元B58 万元C60 万元D72 万元【分析】设初中x个班，高中y个班，年利润为z，根据题意找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题

14、设的最优解【解答】解：（I）设开设初中班x个，高中班y个，根据题意，线性约束条件为，（II）设年利润为z万元，则目标函数为z2x+3y，由（I）作出可行域如图由方程组得交点M（20，10）作直线l：2x+3y0，平移l，当l过点M（20，10），z取最大值70开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元故选：A【点评】本题考查了线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键10（5分）已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin（BA）+sin（B+A）3sin2A，且c，C，则ABC的面积是（）ABCD或【分析】根据sin（BA）+s

15、in（B+A）3sin2A，可得2sinBcosA6sinAcosA，即（6sinA2sinB）cosA0根据正余弦定理求解即可【解答】解：由题意，sin（BA）+sin（B+A）3sin2A，可得2sinBcosA6sinAcosA，即（6sinA2sinB）cosA0，cosA0或3sinAsinB当cosA0时，A90c，C，BbtanBc那么ABC的面积Sbc当3sinAsinB，由正弦定理，可得3abcosCa2+b27ab解得a1，b3那么ABC的面积SabsinC，故选：D【点评】本题考查了三角恒等式的化简能力和正余弦定理的运用属于基础题11（5分）已知数列xn满足xn+3xn，

16、若x11，x2a（a1，a0），则数列xn的前2018项的和S2018为（）A669B670+aC1345+aD1338【分析】数列xn满足xn+3xn，xn+2|xn+1xn|（nN*），x11，x2a（a1，a0），可得x3|a1|1a，x4x11，数列是以3为周期的周期数列，于是S2018x1+x2+x3+x2018672（x1+x2+x3）+x1+x2【解答】解：数列xn满足xn+3xn，xn+2|xn+1xn|（nN*），x11，x2a（a1，a0），x3|a1|1a，x4x11，数列是以3为周期的周期数列，并且x1+x2+x31+1a+a2，则S2018x1+x2+x3+x2018

17、672（x1+x2+x3）+x1+x26722+1+a1345+a故选：C【点评】本题考查了数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c0（ab1）的解集为空集，则T+的最小值为（）AB2CD4【分析】由题意得：，得利用此式进行代换，将T化成，令ab1m，则m0，利用基本不等式即可求出T的最小值【解答】解：由题意得：，得，令ab1m，则m0，所以则的最小值为4故选：D【点评】本小题主要考查基本不等式、一元二次不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填

18、写在答卷相应的横线上13（5分）不等式的解集是x|x3或x【分析】根据题意，原不等式等价于（2x1）（x+3）0且（x+3）0，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，（2x1）（x+3）0且（x+3）0，解可得x3或x，即原不等式的解集为x|x3或x；故答案为：x|x3或x【点评】本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式14（5分）已知数列an是递增的等比数列，a1+a49，a2a38，则a6的值等于32【分析】数列an是递增的等比数列，a1+a49，a2a38a1a4，解得a1，a4再利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：数列an是递增的等比数列，a1+

19、a49，a2a38a1a4，解得a11，a48q38，解得q2a62532故答案为：32【点评】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（5分）如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 nmile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20 nmile的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos的值为【分析】利用余弦定理求出BC，正弦定理求得ACB的余弦值，再利用coscos（ACB+30）求出cos的值【解答】解：如图所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余

20、弦定理得BC2AB2+AC22ABACcos1202800，所以BC20；由正弦定理得sinACBsinBAC，由BAC120知ACB为锐角，所以cosACB；所以coscos（ACB+30）cosACBcos30sinACBsin30故答案为：【点评】本题考查了三角函数的化简求值，以及正弦、余弦定理的应用问题，是中档题16（5分）已知等比数列an的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，记数列log2an的前n项和为Tn，若a1，且9，则当n11时，Tn有最小值【分析】利用等比数列的前n项和公式可得q，利用对数的运算性质及其等差数列的前n项和公式可得Tn，再利用二次函数的单调性即可得出【解答】

21、解：q1不满足条件，舍去9，1+q39，解得q2，log2anlog2a1+（n1）Tnnlog2a1+n，a1，log2a1log22016，log21949，1024210194920162048211，当n11时，Tn取得最小值故答案为：11【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知在ABC中，三边长a，b，c依次成等差数列（1）若sinA：sinB3：5，求cosC的值（2）若b1

22、且，求ABC的面积【分析】（1）由已知利用等差数列的性质可得2ba+c，设a3k，b5k （k0），可求c7k，进而根据余弦定理可求cosC的值（2）由已知根据平面向量数量积的运算，余弦定理可求cosB的值，根据等差数列的性质可得a+c2，进而可求ac，结合范围B（0，），利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为10分）解：（1）a，b，c 依次成等差数列，得：2ba+c，（1分）又 sinA：sinB3：5，a：b3：5，（2分）设a3k，b5k （k0），则c7k           &

23、nbsp;（3分）故：（5分）（2）由 b1，又由 ，得：accosBb2（ac）2，（6分）b2a2+c22accosB，（7分）a，b，c 依次成等差数列，a+c2，ac，（8分）又B（0，），BC，sinB，（9分）从而ABC 的面积为：SABCacsinB （10分）【点评】本题主要考查了等差数列的性质，余弦定理，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题18（12分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA2ccosC（1）求角C；（2）若，求ABC周长的取值范围【分

24、析】（1）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得sinC2sinCcosC，结合sinC0，可求cosC的值，结合C的范围可求C的值（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得a+b+c，由C，A的范围可求，利用正弦函数的性质即可计算得解ABC 周长的取值范围【解答】（本题满分为12分）解：（1）在ABC中，由正弦定理，可得 sinAcosB+sinBcosA2sinCcosC，（1分）所以 sin（A+B）2sinCcosC，（2分）所以 sinC2sinCcosC，（3分）又在锐角三角形中，（4分）所以 ，故          （5

25、分）（2）由正弦定理可得，（6分）于是，a+b+c         （9分），因为锐角ABC 中，所以 ，（10分）所以 ，可得：，（11分）所以ABC 周长的取值范围为： （12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题19（12分）记号“”表示一种运算，即ab+a+，记f（x）（sin2x）（cos2x）（1）求函数yf（x）的表达式及最小正周期；（2）若函数f（x）在xx0处取得最大值，若数列an满足annx0（nN*），求f（a1）+f（a2）+f（a3）的值【分析】

26、（1）根据定义求出函数的解析式，结合三角函数的周期公式进行求解即可（2）求出an的通项公式，利用代入法进行求解即可【解答】解：（1）由题意得f（x）（sin2x）（cos2x）+sin2x+cos2x1+sin2x+cos2x1+2（sin2x+cos2x）1+2sin（2x+）（4分）最小周期T（5分）（2）若函数f（x）在xx0处取得最大值，2x0+2k+，即x0k+，kZ，（7分）故annx0n（k+），kZ（8分）则a1k+，a22k+，a33k+（9分）则f（a1）+f（a2）+f（a3）3+2sin（2a1+）+2sin（2a2+）+2sin（2a3+）3+2sin+2sin+2s

27、in3+2+6+    （12分）【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式是解决本题的关键20（12分）解关于x的不等式，ax22（a+1）x+40【分析】不等式化为（ax2）（x2）0，再对a分类讨论，求出对应不等式的解集即可【解答】解：不等式ax22（a+1）x+40可化为（ax2）（x2）0，（）当a0时，不等式化为x20，解得x2；（）当0a1时，不等式化为（x）（x2）0，解得x2或x；（）当a1时，不等式化为（x2）20，解得x2；（）当a1时，不等式化为（x）（x2）0，解得x或x2；（）当a0时，不等式化为（x）（x2）0，解得x2；综上，

28、a0时，不等式的解集为x|x2；0a1时，不等式化的解集为x|x2或x；a1时，不等式的解集为x|x2；a1时，不等式的解集为x|x或x2；a0时，不等式的解集为x|x2【点评】本题考查了含有字母系数的不等式解法问题，也考查了分类讨论思想，是中档题21（12分）已知数列an为等差数列，a11，an0，其前n项和为Sn，且数列也为等差数列（1）求an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和【分析】（1）设等差数列 an 的公差为d（d0），运用等差数列的通项公式可得d的方程，解方程可得d，进而得到所求通项；（2）求得，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（1）设等差数列

29、 an 的公差为d（d0），因为 a11，an0， 为等差数列，所以，成等差数列，则 ，解得d2，所以 an1+2（n1）2n1，则，所以数列 为等差数列，所以 an2n1；（2）由（1）可得an+12n+1，所以，设数列 bn 的前 n 项和为 Tn，则Tnb1+b2+bn1+1【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题22（12分）设Sn为等差数列an的前n项和，其中a11，且（1）求常数的值，并写出an的通项公式；（2）记，数列bn的前n项和为Tn，若对任意的nk（kN*），都有，求常数k的最小值【分析】（1）由已知求出a2，a3，再由等差数列的性质列式求得，进一步得到公差，则等差数列的通项公式可求；（2）把an的通项公式代入，利用错位相减法求数列bn的前n项和为Tn，构造函数 ，由其单调性求解【解答】解：（1）由 a11，及 ，得 ，an 是等差数列，即，a22，公差d1，ann；（2）由（1）知 ann，有，得，要使 ，即记 ，则，dn+1dn又 ，当 n4 时，恒有 dn1故存在 kmin4 时，对任意的 nk，都有 成立【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，考查数列的函数特性，是中档题