2020届福建省师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（理）试题（含答案）

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1、福建师大附中2019-2020学年上学期期中考试高三数学（理科）试卷试卷说明：（1）本卷共三大题，22小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。第卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 已知集合，集合，则AB CD2.若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为AB CD3.已知，则的大小关系为AB CD4. 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至

2、、立春、春分日影长之和为31.5，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为A1.5尺B2.5尺 C3.5尺D4.5尺5. 设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件6. 若，则ABCD7.己知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是A. B. C. D. 8. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形

3、，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得A. B. C. D. 9. 若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是AB CD 10. 已知平面向量满足，若，则的最大值为AB CD11.已知函数.若函数在区间内没有零点，则的取值范围是AB CD12.设函数()有且仅有两个极值点()，则实数的取值范围是AB CD卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分,共20分.13.边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为 14. 16至17世纪之交，随着天

4、文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.现在已知， ，则 15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.现要测量如图所示的蓝洞的口径,两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点，测得，则,两点的距离为_16. 已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，

5、考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，.（1）求的值；（2）求的值.18.（12分） 已知数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明： .19（12分）如图，在 中，角 的对边分别为 , . （1）求角 的大小；（2）若为外一点， ，求四边形面积的最大值.20（12分）已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的通项公式.21（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，记的最小值为，证明：.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则

6、按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线与曲线C交于不同的两点A, B（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设P(1，2)，求的取值范围23选修45：不等式选讲（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，实数满足，求证：. 评分标准一、选择题： 题号123456789101112答案CBCBCCACADDB二、填空题： 13. 14. 15. 16. 三、解答题: 17. 解：（1）sinBsinC由正弦定理得，

7、bc，2分acb，a2c，4分，由余弦定理知，cosA6分（2）由（1）知，cosAA为三角形内角，sinA，7分sin2A=8分cos2A= - 9分sin2Acos cos2A sin12分18. 解：因为所以当时，得.1分当时，-得，3分即，5分符合上式.故6分（2） 9分12分19.解：（1）在 中，. ，1分 ， ，即 ，4分 .6分（2）在 中，又 ，则为等腰直角三角形，8分又 ，9分，11分当 时，四边形 的面积最大值，最大值为 .12分20. 解：（1）时， 1分 2 4分满足上式，故.5分（2），有累加整理 7分 得满足上式，故.12分21. （1）因为的定义域为， 又， 1

8、分所以当时， 在单调递增 当时，若时，在单调递减；若时，在单调递增综上，当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增4分（2）当时，由（1）知， 5分令，则， 令，则，所以在单调递减，又，所以存在，使得，且， 所以当时，单调递增；当时，单调递减；所以当时，取得最大值， 因为 ， 令，则在单调递减， 所以，所以， 因此当时，即12分22. 解：（1）因为，所以，两式相减可得直线的普通方程为. 2分因为，所以曲线的直角坐标方程. 4分 （2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程， 整理得关于的方程： . 因为直线与曲线有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为，则 ，. 5分并且，注意到 ，解得. 6分因为直线的参数方程为标准形式，所以根据参数的几何意义，有，8分因为，所以，.因此的取值范围是.10分23. 解：当时，不等式可化为，又，；当时，不等式可化为，又，当时，不等式可化为，又，综上所得， 原不等式的解集为 4分（2）证明：由绝对值不等式性质得，即令，则， ，原不等式得证 10分- 11 -