2017-2018学年广西南宁市青秀区高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A1，2，3，集合Bx|x2x，则AB（）A1B1，2C0，1，2，3D1，0，1，2，32（5分）设角的终边经过点P（3，4），那么sin+2cos（）ABCD3（5分）函数yln（x2+2x3）的单调递减区间是（）A（，3）B（，1）C（1，+）D（1，+）4（5分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50，60）元的同学有30人，则n的值为（）A300B200C150D1005（5分）如图一铜钱的直

2、径为32毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为8毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为（）ABCD6（5分）已知函数则f（f（2）等于（）A4B2C1D17（5分）已知0ab1c，mlogac，nlogbc，rac，则m，n，r的大小关系是（）AmnrBmrnCrmnDnmr8（5分）公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近

3、似值的程序框图如图，则输出S的值为（参考数据：sin150.2588，sin7.50.1305）（）A2.598B3.106C3.132D3.1429（5分）下列结论中正确的是（）A若角的终边过点P（3k，4k），则B若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角C若，则D对任意x（0，1），（xsinx）tanx0恒成立10（5分）已知函数，则f（3a+2）f（2a）0的概率为（）ABCD11（5分）f（x）是定义在R上的函数，f（x）f（x），且f（x）在0，+）上递减，下列不等式一定成立的是（）ABCD12（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x），且f（x+2）f（x），g（x），则

4、方程f（x）g（x）在区间5，1上的所有实根之和为（）A5B6C7D8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若数据x1，x2，x8的方差为3，则数据2x1，2x2，.，2x8的方差为   14（5分）已知扇形的周长是4cm，面积是1cm2，则扇形的圆心角的弧度数是   15（5分）已知，且f（1a）+f（1a2）0，则实数a的取值范围为   16（5分）给出下列命题：设x表示不超过x的最大整数，则log21+log22+log23+log2127+log2128649；定义：若任意xA，总有axA（A），就称集合A为a的“闭集”，已知A

5、1，2，3，4，5，6且A为6的“闭集”，则这样的集合A共有7个；已知函数f（x）为奇函数，g（x）f（x）+2在区间（0，+）上有最大值5，那么g（x）在（，0）上有最小值3其中正确的命题序号是   三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知tana3，计算：（1）；（2）sinacosa18（12分）脱贫是政府关注民生的重要任务，了解居民的实际收入状况就显得尤为重要现从某地区随机抽取100个农户，考察每个农户的年收入与年积蓄的情况进行分析，设第i个农户的年收入xi（万元），年积蓄yi（万元），经过数据处理得（）已知家庭的年结

6、余y对年收入x具有线性相关关系，求线性回归方程；（）若该地区的农户年积蓄在5万以上，即称该农户已达小康生活，请预测农户达到小康生活的最低年收入应为多少万元？附：在x+中，其中为样本平均值19（12分）已知实数a0，且满足不等式33a+234a+1（1）解不等式loga（3x+2）loga（85x）；（2）若函数f（x）loga（x+2）loga（x1）在区间2，4上有最小值1，求实数a的值20（12分）田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜若这六匹马比赛的优劣程度可以用以下不等式表示：AaBbCc（）如果双

7、方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率；（）为了得到更大的获胜概率，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马那么，田忌应怎样安排出马的顺序，才能使自己获胜的概率最大？21（12分）已知的图象关于坐标原点对称（1）求a的值，并求出函数的零点；（2）若存在x0，1，使不等式成立，求实数b的取值范围22（12分）已知二次函数f（x）满足f（0）f（1）1，且f（x）的最小值是（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）x+m在区间（1，2）上有唯一实数根，求实数m的取值范围；（3）函数g（x）f（x）（2t1）x，对任意x1，x24，5都有|g（x1）g（x2）|4

8、恒成立，求实数t的取值范围2017-2018学年广西南宁二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A1，2，3，集合Bx|x2x，则AB（）A1B1，2C0，1，2，3D1，0，1，2，3【分析】分别求出集合A，集合B，由此能求出AB【解答】解：集合A1，2，3，集合Bx|x2x0，1，AB0，1，2，3故选：C【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用2（5分）设角的终边经过点P（3，4），那么sin+2cos（）ABCD【分析】根

9、据任意角的三角函数的定义求得sin 和cos 的值，从而求得sin+2cos 的值【解答】解：由于角的终边经过点P（3，4），那么x3，y4，r|OP|5，sin，cos，sin+2cos，故选：C【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题3（5分）函数yln（x2+2x3）的单调递减区间是（）A（，3）B（，1）C（1，+）D（1，+）【分析】由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，再求出内函数的减区间，结合复合函数的单调性得答案【解答】解：由x2+2x30，得x3或x1，函数f（x）ln（x2+2x3）的定义域为（，3）（1，+），又内层函数tx2+2x3的对称轴方程为x1，则

10、内函数在（，3）上为减函数，在（1，+）上为增函数，且外层函数对数函数ylnt为定义域内的增函数，故复合函数数f（x）ln（x2+2x3）的单调递减区间为（，3）故选：A【点评】本题考查复合函数的单调性，以及单调区间的求法对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题4（5分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50，60）元的同学有30人，则n的值为（）A300B200C150D100【分析】由频率分布直方图得支出在50，60

11、）元的同学所占频率，再由支出在50，60）元的同学有30人，能求出n的值【解答】解：由频率分布直方图得支出在50，60）元的同学所占频率为：1（0.01+0.024+0.036）100.3，支出在50，60）元的同学有30人，n100故选：D【点评】本题考查样本容量的求法，考查频率分布直方图的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题5（5分）如图一铜钱的直径为32毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为8毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为（）ABCD【分析】本题是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和

12、中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解【解答】解：S正8264mm2，S圆（）2256mm2，该粒米落在铜钱的正方形小孔内的概率为P，该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为1；故选：B【点评】本题考查了几何概型概率的求法；几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关6（5分）已知函数则f（f（2）等于（）A4B2C1D1【分析】先求出f（2）f（0）f（2）f（4）log242，从而f（f（2）f（2）f（4），由此能求出结果【解答】解：函数，f（2）f（0）f（2）f（4）log242，f（f

13、（2）f（2）f（4）log242故选：B【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用7（5分）已知0ab1c，mlogac，nlogbc，rac，则m，n，r的大小关系是（）AmnrBmrnCrmnDnmr【分析】根据指数函数的性质，可得rac0为正数再由对数函数的单调性，可得0，0，且m的倒数比n的倒数要小，因此nm0由此不难得到本题的答案【解答】解：a0，rac0为正数又ab1，c10，0，m、n都是负数又0，即mn因此，有nmr成立故选：D【点评】本题给出几个指数、对数值，让我们比较它们的大小，着重考查了对数函数、指数函数的单调性和运用不等式比较大小

14、等知识，属于基础题8（5分）公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为（参考数据：sin150.2588，sin7.50.1305）（）A2.598B3.106C3.132D3.142【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：模拟执行程序，可得：n6，S3sin60，不满足条件n24，n12，S6sin303，不满足条

15、件n24，n24，S12sin15120.25883.1056，不满足条件n24，n48，S24sin7.5240.13053.132，满足条件n24，退出循环，输出S的值为3.132故选：C【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题9（5分）下列结论中正确的是（）A若角的终边过点P（3k，4k），则B若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角C若，则D对任意x（0，1），（xsinx）tanx0恒成立【分析】运用任意角的三角函数的定义，计算可判断A；由可判断B；运用同角的平方关系，即可判断C；运用函数f（x）sinxx的单调性和正切函数的单调性，即可判断

16、D【解答】解：若角的终边过点P（3k，4k），若k0则sin；或k0时，sin，则A错误；若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角，不正确，比如可得为第一象限的角；若，平方可得1+2sincos，即2sincos，可得，即sin0，cos0，cossin；对任意的0x1，由f（x）sinxx的导数为f（x）cosx10，即f（x）f（0）0，可得sinxx0，tanx0，则（xsinx）tanx0，则（xsinx）tanx0恒成立故选：D【点评】本题考查任意角的三角函数的定义和象限角、同角的平方关系以及正弦函数、正切函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题10（5分）已知函数，则f（3a+2

17、）f（2a）0的概率为（）ABCD【分析】利用对数的运算性质化简已知函数解析式，结合条件f（3a+2）f（2a）0求得a的个数，利用几何概型得答案【解答】解：，且a，2，4，5，8，9，基本事件总数为7当a1时，由f（3a+2）f（2a）0，得，解得a4，即a5，8，9时才成立；当a1时，3a+22a，即a2，a不存在满足f（3a+2）f（2a）0的基本事件个数为3，满足f（3a+2）f（2a）0的概率为故选：B【点评】本题考查几何概型，考查了对数函数的性质，关键是对题意的理解，是中档题11（5分）f（x）是定义在R上的函数，f（x）f（x），且f（x）在0，+）上递减，下列不等式一定成立的是

18、（）ABCD【分析】利用函数的奇偶性和单调性直接求解【解答】解：f（x）是定义在R上的函数，f（x）f（x），且f（x）在0，+）上递减，在A中，f（cos）f（）f（），f（tan）f（），f（cos）f（tan），故A错误；在B中，f（cos）2）f（），f（）f（a1）2+），故B正确；在C中，当a时，f（sin）f（3a+2），故C错误；在D中，当a0时，f（）f（a22a+），故D错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性和单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题12（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x），且f（x+2）f（x），

19、g（x），则方程f（x）g（x）在区间5，1上的所有实根之和为（）A5B6C7D8【分析】将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可【解答】解：f（x），且f（x+2）f（x），f（x2）2；又g（x），g（x）2+，g（x2）2，当x2k1，kZ时，上述两个函数都是关于（2，2）对称，；由图象可得：方程f（x）g（x）在区间5，1上的实根有3个，x13，x2满足5x24，x3满足0x31，x2+x34；方程f（x）g（x）在区间5，1上的所有实根之和为7故选：C【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维

20、，有助于把握数学问题的本质二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若数据x1，x2，x8的方差为3，则数据2x1，2x2，.，2x8的方差为12【分析】利用方差的性质直接求解【解答】解：样本数据x1，x2，x8的方差为3，数据2x1，2x2，2x8的方差为：22312故答案为：12【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用14（5分）已知扇形的周长是4cm，面积是1cm2，则扇形的圆心角的弧度数是2【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式，求出扇形圆心角的弧度数【解答】解：设

21、扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l4，S面积lr1所以解得：r1，l2所以扇形的圆心角的弧度数是2故答案为：2【点评】本题考查弧度制下，扇形的面积及弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系15（5分）已知，且f（1a）+f（1a2）0，则实数a的取值范围为（2，1）【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上减函数，进而可以将原不等式转化为f（1a）f（a21），结合函数的单调性可得1aa21，即a2+a20，解可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数，其定义域为R，则有f（x），有f（x）+f（x）110，则函数f（x）为奇函数，又f（x）在R上为减函数，若

22、f（1a）+f（1a2）0，则f（1a）f（1a2），即f（1a）f（a21），则有1aa21，即a2+a20，解可得：2a1，即a的取值范围为（2，1）；故答案为：（2，1）【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数f（x）的奇偶性与单调性，属于综合题16（5分）给出下列命题：设x表示不超过x的最大整数，则log21+log22+log23+log2127+log2128649；定义：若任意xA，总有axA（A），就称集合A为a的“闭集”，已知A1，2，3，4，5，6且A为6的“闭集”，则这样的集合A共有7个；已知函数f（x）为奇函数，g（x）f（x）+2在区间（0，+）

23、上有最大值5，那么g（x）在（，0）上有最小值3其中正确的命题序号是【分析】根据x的定义以及对数的运算性质分别进行求解即可根据闭集的定义确定元素的关系进行求解结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可【解答】解：log210，log221，log231，log242，当4x8时，log2x2，当8x16时，log2x3，当16x32时，log2x4，当32x64时，log2x5，当65x128时，log2x6，当x128时，log21287，则log21+log22+log23+log2127+log21280+21+42+83+164+325+646+7649，故正确，若a6，则6xA，当

24、x1时，615，当x2时，624，当x3时，633，当x4时，642，当x5时，651，当x6时，660，即1，5，2，4，3，是闭集，则1，5，2，4，3的所有非空子集都满足条件，即2317个，故正确，由g（x）f（x）+2得g（x）2f（x）是奇函数，g（x）f（x）+2在区间（0，+）上有最大值5，得g（x）2f（x）的最大值为523，则g（x）2f（x）f（x）的最小值为3，即g（x）的最小值为3+21，故错误，故正确的命题是，故答案为：【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据命题成立的条件进行推理证明是解决本题的关键三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

25、演算步骤.）17（10分）已知tana3，计算：（1）；（2）sinacosa【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解：（1）tan3，（2）tan3，sincos【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题18（12分）脱贫是政府关注民生的重要任务，了解居民的实际收入状况就显得尤为重要现从某地区随机抽取100个农户，考察每个农户的年收入与年积蓄的情况进行分析，设第i个农户的年收入xi（万元），年积蓄yi（万元），经过数据处理得（）已知家庭的年结余y对年收入x具有线性相关关系，求线性回归方程；（

26、）若该地区的农户年积蓄在5万以上，即称该农户已达小康生活，请预测农户达到小康生活的最低年收入应为多少万元？附：在x+中，其中为样本平均值【分析】（）已知家庭的年结余y对年收入x具有线性相关关系，求出回归系数，即可求线性回归方程；（）令得x15即可得出结论【解答】解：（）由题意知，所以线性回归方程为；（）令得x15，由此可预测该农户的年收入最低为15万元【点评】本题考查回归方程及其应用，考查学生的计算能力，属于中档题19（12分）已知实数a0，且满足不等式33a+234a+1（1）解不等式loga（3x+2）loga（85x）；（2）若函数f（x）loga（x+2）loga（x1）在区间2，4上

27、有最小值1，求实数a的值【分析】（1）由不等式33a+234a+1得：3a+24a+1，0a1，利用函数ylogax在x0时单调递减可得，解得x范围（2），令，当x2，4时，可得，由0a1，根据ylogat的对数函数在定义域内的单调性即可得出【解答】解：（1）由不等式33a+234a+1得：3a+24a+1，0a1，函数ylogax在x0时单调递减loga（3x+2）loga（85x），解得（2）令，当x2，4时，x11，3，0a1，ylogat的对数函数在定义域内递减f（x）minloga41，【点评】本题考查了指数函数与对数函数函数的单调性、不等式与不等式组的解法，考查了推理能力与计算能力

28、，属于中档题20（12分）田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜若这六匹马比赛的优劣程度可以用以下不等式表示：AaBbCc（）如果双方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率；（）为了得到更大的获胜概率，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马那么，田忌应怎样安排出马的顺序，才能使自己获胜的概率最大？【分析】（）列出齐王与田忌赛马的所有情况，从而求概率；（）已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败为了使自己获胜的概率最大，田

29、忌第一场应出下等马c，从而安排后两场，求概率【解答】解：记A与a比赛为（A，a），其它同理（）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：（A，a）、（B，b）、（C，c）；（A，a）、（B，c）、（C，b）；（A，b）、（B，c）、（C，a）：（A，b）、（B，a）、（C，c）；（A，c）、（B，a）、（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）；其中田忌获胜的只有一种：（A，c）、（B，a）、（C，b），故田忌获胜的概率为，（）已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c，后两场有两种情形：若

30、齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为：（B，a）、（C，b）或（B，b）、（C，a）田忌获胜的概率为，若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为：（C，a）、（B，b）或（C，b）、（B，a）田忌获胜的概率也为所以，田忌按c、a、b或c、b、a的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大【点评】本题考查了古典概型的识别与古典概型概率的求法，属于基础题21（12分）已知的图象关于坐标原点对称（1）求a的值，并求出函数的零点；（2）若存在x0，1，使不等式成立，求实数b的取值范围【分析】（1）由题意知f（x）是R上的奇函数所以f（0）0，得a的值，求解F（x）解析式，令其为等于0，即可求解零点；（2）构造

31、新函数，分离参数b，换元法求解最小值即可得实数b的取值范围【解答】解：（1）由题意知f（x）是R上的奇函数所以f（0）0，得a1，由（2x）2+2x60，可得2x2，所以，x1，即F（x）的零点为x1（2）令，由题设知h（x）0在0，1内能成立，即不等式（2x）2+2x+11b0在0，1上能成立即b（2x）2+2x+11在0，1内能成立，令t2x，则bt2+2t1在t1，2上能成立，只需b（t2+2t1）min，令g（t）t2+2t1，对称轴t1，则g（t）在t1，2上单调递增g（t）ming（1）2，所以：b2【点评】本题一方面考查了指数函数的性质，要结合函数的性质和换元思想来解决问题；另一

32、方面要注意定义域22（12分）已知二次函数f（x）满足f（0）f（1）1，且f（x）的最小值是（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）x+m在区间（1，2）上有唯一实数根，求实数m的取值范围；（3）函数g（x）f（x）（2t1）x，对任意x1，x24，5都有|g（x1）g（x2）|4恒成立，求实数t的取值范围【分析】（1）设f（x）ax2+bx+c（a0），则由f（0）1得c1，又f（1）a+b+c1，所以ab易知对称轴为，（x）的最小值是即可求解（2）转化为直线ym与函数yx22x+1，x（1，2）的图象有且只有一个交数形结合可得答案；（3）对任意x1，x24，5都有|g（x1

33、）g（x2）|4成立，即|g（x1）g（x2）|max4，故有g（x）maxg（x）min4，讨论g（x）的最值问题，可得t的范围【解答】解：（1）设f（x）ax2+bx+c（a0），则由f（0）1得c1，又f（1）a+b+c1，所以ab易知对称轴为，所以解得a1，b1，c1，所以f（x）x2x+1；（2）由方程f（x）x+m得mx22x+1，即直线ym与函数yx22x+1，x（1，2）的图象有且只有一个交点，作出函数yx22x+1在x（1，2）的图象易得当m0或m1，4）时函数图象与直线ym只有一个交点，所以m的取值范围是01，4）；（3）由题意知g（x）x22tx+1假设存在实数t满足条件

34、，对任意x1，x24，5都有|g（x1）g（x2）|4成立，即|g（x1）g（x2）|max4，故有g（x）maxg（x）min4，由g（x）（xt）2t2+1，x4，5当t4时，g（x）在4，5上为增函数g（x）maxg（x）ming（5）g（4）4，所以；当时，g（x）maxg（x）ming（5）g（t）42510t+1t2+2t214即t210t+210解得3t7，所以当时，g（x）maxg（x）ming（4）g（t）4即t28t+120解得2t6所以当t5时，g（x）maxg（x）ming（5）g（4）4即，所以综上所述，所以当时，使得对任意x1，x24，5都有|g（x1）g（x2）|4成立【点评】本题一方面考查了二次函数的性质，要结合对数函数的图象来解决问题；另一方面要注意分类讨论