2017-2018学年广西玉林市XX中学高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）三个数a0.32，blog20.3，c20.3之间的大小关系是（）AacbBabcCbacDbca2（4分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，则二面角A1BCA的平面角的正切值为（）ABC1D3（4分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，D是CC1中点，则CA1与BD所成角的大小是（）ABCD4（4分）若圆x2+y2+2x6y+60有且仅有三个点到直线x+ay+10的距离为1，则实数a的值为（）A1BCD5（4分）已知f（x）为奇函数，g（x）ln（x2b

2、），若对x1、x2R，f（x1）g（x2）恒成立，则b的取值范围为（）A（，eB（，0Ce，0De，+）6（4分）已知两条直线axy20和（2a）xy+10互相平行，则a等于（）A2B1C0D17（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调增的是（）ABylgxCy|x|1Dy2x28（4分）设，为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，l，则l；若m，n，m，n，则；若l，l，则；m，n，且lm，ln，则l；其中真命题的序号是（）ABCD9（4分）圆C1：x2+y2+2x+8y80与圆C2：x2+y24x4y10的位置关系是（）A外离B外切C相交D内含

3、10（4分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A46B48C50D52二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.11（4分）直线x+ay3与圆（x1）2+y22相切，则a   12（4分）过A（1，1），B（1，3），圆心在x轴上的圆的标准方程为   13（4分）已知函数f（x）与g（x）log2x，则函数h（x）f（x）g（x）的零点个数是   14（4分）在四面体SABC中，ABBC，ABBC，SASC2，平面SAC平面BAC，则该四面体外接球的表面积为   三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出必要的文字说明.15

4、（10分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，ABACAA12，BAC90（1）求证：BAA1C；（2）求三棱锥ABB1C1的体积16（10分）已知圆C：x2+（y1）25，直线l：mxy+1m0（1）求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|，求直线l的方程17（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，且ABAD，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2（1）求证：AM平面BEC；（2）求证：BC平面B

5、DE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值18（12分）已知线段AB的端点B（4，0），端点A在圆（x+4）2+y216上运动（）求线段AB的中点C的轨迹方程（） 设动直线yk（x1）（k0）与圆C交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线AN与直线BN关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由2017-2018学年广西玉林市陆川中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）三个数a0.32，blog20.3，c20.3之间的大小关系是（）Aac

6、bBabcCbacDbca【分析】将a0.32，c20.3分别抽象为指数函数y0.3x，y2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将blog20.3，抽象为对数函数ylog2x，利用其图象可知小于零最后三者得到结论【解答】解：由对数函数的性质可知：blog20.30，由指数函数的性质可知：0a1，c1bac故选：C【点评】本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质2（4分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，则二面角A1BCA的平面角的正切值为（）ABC1D【分析】先取BC的中点E，可得二面角A1BCA的平面角为A1EA，再在直角三角形A1EA中求出其正

7、切即可【解答】解：设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE，由正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等可得A1EBC，AEBC所以；二面角A1BCA的平面角为：A1EA，在RTABC中，AEa，所以：tanA1EA即二面角A1BCA的平面角的正切值为：故选：D【点评】本题主要考查二面角的平面角及求法解决本题的关键在于通过取BC的中点E，得二面角A1BCA的平面角为A1EA，进而求出结论3（4分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，D是CC1中点，则CA1与BD所成角的大小是（）ABCD【分析】由题意，画出图形，通过作平行线得到所求角的平面角，利用余弦定理求大小【解答】解：如图过

8、D作DECA1交A1C1于E，则E是A1C1的中点，连接BE，则BDE为CA1与BD所成角，设AB2，则BD，DE，B1E，BE，在BDE中，cosBDE0，所以BDE；故选：C【点评】本题考查了正三棱柱的性质以及异面直线所成的角的求法；关键是找到平面角，利用余弦定理求值4（4分）若圆x2+y2+2x6y+60有且仅有三个点到直线x+ay+10的距离为1，则实数a的值为（）A1BCD【分析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，把圆x2+y2+2x6y+60上有且仅有三个点到直线x+ay+10的距离为1，转化为圆心C到直线x+ay+10的距离为1，再由点到直线的距离公式求解得答案【解答

9、】解：化圆x2+y2+2x6y+60为（x+1）2+（y3）24可得圆心坐标为C（1，3），半径r2如图：要使圆x2+y2+2x6y+60有且仅有三个点到直线x+ay+10的距离为1，则圆心C到直线x+ay+10的距离为1，即，解得a故选：B【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题5（4分）已知f（x）为奇函数，g（x）ln（x2b），若对x1、x2R，f（x1）g（x2）恒成立，则b的取值范围为（）A（，eB（，0Ce，0De，+）【分析】根据f（x）为奇函数，求出a值，进而求出值域，将对x1，x2R，f（x1）g（x2）恒成立，转化为：

10、f（x）maxg（x）min，可得答案【解答】解：由于f（x）为奇函数，故f（0）0，a1；则f（x）1（1，1），由题意，要求f（x）maxg（x）min，而f（x）（1，1），从而要求ln（x2b）1，x2be在R上恒成立，b（x2e）min，be，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性性质，熟练掌握函数奇偶性的性质是解答的关键6（4分）已知两条直线axy20和（2a）xy+10互相平行，则a等于（）A2B1C0D1【分析】利用直线与直线平行的性质求接求解【解答】解：两条直线axy20和（2a）xy+10互相平行，解得a1故选：B【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审

11、题，注意直线与直线平行的性质的合理运用7（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调增的是（）ABylgxCy|x|1Dy2x2【分析】根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可【解答】解：对于A，函数是奇函数，不合题意，对于B，函数是非奇非偶函数，不合题意，对于C，函数是偶函数，x0时，yx1，递增，符合题意，对于D，函数是偶函数，在（0，+）递减，不合题意，故选：C【点评】本题考查了成绩函数的奇偶性和单调性的性质，是一道基础题8（4分）设，为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，l，则l；若m，n，m，n，则；若l，l，则；m，n，且lm，ln，则l

12、；其中真命题的序号是（）ABCD【分析】由面面平行的性质定理，可得的真假；由面面平行的判定定理，可得的真假；根据线面平行的性质定理，线面垂直的判定方法及面面垂直的判定定理可得的真假；由线面垂直的判定定理可得的真假，进而得到答案【解答】解：若，l，由面面平行的性质定理可得l，故正确；若m，n，m，n，若mn，则不一定成立，故错误；若l，由线面平行的性质定理可得存在b，使bl，又由l，可由线面垂直的第二判定定理得b，由面面垂直的判定定理可得，故正确；m，n，且lm，ln，若mn，则l不一定成立，故错误；故选：C【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是掌握空间中线面位置关系判断的

13、定理，本题是考查双基的题，知识性较强9（4分）圆C1：x2+y2+2x+8y80与圆C2：x2+y24x4y10的位置关系是（）A外离B外切C相交D内含【分析】由圆C1：x2+y2+2x+8y80的圆心C1（1，4），半径r15，圆C2：x2+y24x4y10的圆心C2（2，2），半径r23，知|r1r2|C1C2|r1+r2，由此得到圆C1与圆C2相交【解答】解：圆C1：x2+y2+2x+8y80的圆心C1（1，4），半径r15，圆C2：x2+y24x4y10的圆心C2（2，2），半径r23，|C1C2|3，|r1r2|2，|r1r2|C1C2|r1+r2，圆C1与圆C2相交故选：C【点评】

14、本题考查圆与圆的位置关系的判断，是基础题解题时要认真审题，仔细解答10（4分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A46B48C50D52【分析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为3，底面是边长为4的正方形，即可求出该几何体的表面积【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，高为3，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面是边长为4的正方形，该几何体的表面积为234+245+4412+20+1648故选：B【点评】本题考查由三视图求该几何体的表面积，考查由三视图还原几何体的直观图二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.11（4分）直线x+ay3与圆（x1）2+

15、y22相切，则a1【分析】求出圆心和半径，结合直线和圆相切的等价条件，建立方程关系进行求解即可【解答】解：圆心坐标为（1，0），半径R，直线和圆相切，圆心到直线的距离d，即2，平方得1+a22，得a21，则a1，故答案为：1【点评】本题主要考查直线和圆相切的位置关系的应用，结合圆心到直线的距离等于半径是解决本题的关键12（4分）过A（1，1），B（1，3），圆心在x轴上的圆的标准方程为（x2）2+y210【分析】设圆心为M（a，0），由|MA|MB|求得a的值，可得圆心坐标以及半径的值，从而求得圆的方程【解答】解：圆的圆心在x轴上，设圆心为M（a，0），由圆过点A（1，1）和B（1，3），即|

16、MA|MB|可得MA2MB2，即（a+1）2+1（a1）2+9，求得a2，可得圆心为M（2，0），半径为|MA|，故圆的方程为（x2）2+y210故答案为：（x2）2+y210【点评】本题主要考查求圆的标准方程，求出圆心的坐标，是解题的关键，属于基础题13（4分）已知函数f（x）与g（x）log2x，则函数h（x）f（x）g（x）的零点个数是3【分析】由题意可作出函数f（x）和g（x）的图象，图象公共点的个数即为函数h（x）f（x）g（x）的零点个数【解答】解：可由题意在同一个坐标系中画出f（x）和g（x）的图象其中红色的为g（x）log2x的图象，由图象可知：函数f（x）和g（x）的图象由三

17、个公共点，即h（x）f（x）g（x）的零点个数为3，故答案为：3【点评】本题为函数零点个数的求解，转化为函数图象的交点个数来求是解决问题的关键，属中档题14（4分）在四面体SABC中，ABBC，ABBC，SASC2，平面SAC平面BAC，则该四面体外接球的表面积为【分析】取AC中点D，连接SD，BD，取等边SAC的中心E，则E为该四面体外接球的球心，球半径RSE，由此能求出该四面体外接球的表面积【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，ABBC，BDAC，SASC2，SDAC，AC平面SDBSDB为二面角SACB的平面角，在ABC中，ABBC，ABBC，AC2平面SAC平面BAC，SDB90，

18、取等边SAC的中心E，则E为该四面体外接球的球心，球半径RSE，该四面体外接球的表面积S4R24故答案为：【点评】本题考查四面体的外接球的表面积的求法，考查四面体、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合思想，是中档题三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出必要的文字说明.15（10分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，ABACAA12，BAC90（1）求证：BAA1C；（2）求三棱锥ABB1C1的体积【分析】（1）推导出A1A平面ABC，从而BAAA1，由BAC90，得BAAC，从而BA平面ACC1A1，由此能证明BAA1C（2）三

19、棱锥ABB1C1的体积，由此能求出结果【解答】证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90A1A平面ABC，BAAA1，又BAC90，BAAC，A1AACA，BA平面ACC1A1，BAA1C解：（2）ACAB，ACAA1，ABAA1A，AC平面ABB1，C1到平面ABB1的距离为AC2，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC902，三棱锥ABB1C1的体积：【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结

20、合思想，是中档题16（10分）已知圆C：x2+（y1）25，直线l：mxy+1m0（1）求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|，求直线l的方程【分析】（1）直线l经过定点（1，1），定点（1，1）在圆C内，由此能证明对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点（2）由圆心（0，1）到直线mxy+1m0的距离d，圆的弦长|AB|2，由此能求出直线方程【解答】证明：（1）直线l：mxy+1m0转化为m（x1）y+10，直线l经过定点（1，1），12+（11）25，定点（1，1）在圆C内，对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点解：（2）由圆心（0，1）

21、到直线mxy+1m0的距离d，而圆的弦长|AB|2，即2，174（4+），m23，解得m，故所求的直线方程为或【点评】本题考查直线与圆总有两个交点的证明，考查直线方程的求法，考查直线过定点、圆、点到直线的距离公式、弦长等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题17（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，且ABAD，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2（1）求证：AM平面BEC；（2）求证：BC平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值【分析】（1）取EC中

22、点N，连结MN，BN，推导出四边形ABMN为平行四边形，从而BNAM，由此能证明AM平面BEC（2）推导出EDAD，EDBC，BCBD，由此能证明BC平面BDE（3）作DH平面BEC于点H，连接CH，则DCH为CD与平面BEC所成角，由此能求出CD与平面BEC所成角的正弦值【解答】证明：（1）取EC中点N，连结MN，BN，在EDC中，M，N分别为ED、EC的中点，MNCD，且MNCD由已知ABCD，ABCD，四边形ABMN为平行四边形BNAM又BN平面BEC，且AM平面BEC，AM平面BEC（2）在正方形ADEF中，EDAD，又平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD，ED平面

23、ABCD，EDBC，在直角梯形ABCD中，ABAD1，CD2，得BC在BCD中，BDBC，CD2，BD2+BC2CD2，BCBDEDBDD，BC平面BDE解：（3）作DH平面BEC于点H，连接CH，则DCH为CD与平面BEC所成角，由（2）知，BCBE，BCBD，SBCD，又ED平面ABCD，DH，sinCD与平面BEC所成角的正弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题18（12分）已知线段AB的端点B（4，0），端点

24、A在圆（x+4）2+y216上运动（）求线段AB的中点C的轨迹方程（） 设动直线yk（x1）（k0）与圆C交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线AN与直线BN关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（）设出C和A点的坐标，由中点坐标公式得到两点坐标的关系，把A的坐标用C的坐标表示，代入圆的方程后整理得答案（）设N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2）可得，得（k2+1）x22k2x+k240，根据根与系数的关系以及kANkBN，即可求出N的坐标【解答】解：（）设线段AB中点为C（x，y），点A（x0，y0），B（4，0），2xx0+4，2yy0+0，x02x4，y02y，（2x4+4）2+4y216，x2+y24，（）设N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+1）x22k2x+k240x1+x2，x1x2若直线AN与直线BN关于x轴对称，则kANkBN+0+0，即2x1x2（t+1）（x1+x2）+2t0+2t0，解得t4在x轴正半轴上存在定点N（4，0），使得AN与直线BN关于x轴对称【点评】本题考查了圆的方程，点的轨迹，定点问题直线和圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题