2019-2020学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）第一次月考数学试卷（解析版）

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1、2019-2020学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m，用科学记数法表示这个数是（）A9.4107mB9.4107mC9.4108mD9.4108m2小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）ABCD3正八边形的每个内角的度数是（）A144B140C135D1204下列计算正确的是（）Ax2x

2、x3Bx+xx2C（x2）3x5Dx6x3x25如图所示：ABC中，DEBC，AD5，BD10，AE3则CE的值为（）A9B6C3D46方程（x+1）（x2）x+1的解是（）A2B3C1，2D1，37若点A（2，a），B（1，b），C（3，c）都在二次函数ymx2（m0）图象上，则a、b、c的大小关系是（）AcabBbacCabcDcba8如图，一次函数y1x+b与一次函数y2kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+bkx+4的解集是（）Ax2Bx0Cx1Dx19如图，在ABCD中，AB6，AD9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G，BG，则CE

3、F的周长为（）A8B9.5C10D11.510如果一条直线l经过不同的三点A（a，b），B（b，a），C（ab，ba），那么直线l经过（）A第二、四象限B第一、二、三象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分11因式分解：x32x2y+xy2 12某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若千名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类）并将调查的结果绘制成如右的两幅不完整的统计图，由图可得喜欢足球的人数有 人13在等腰三角形ABC中，ABC90，D为AC边上中点，过D点作DEDF，交AB于E，交BC于F，若AE4，FC3

4、，则EF的长是 14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车每天40个车次中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 15计算： 16如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE过点A作AE的垂线交ED于点P若AEAP2，PB2则正方形ABCD的面积是 三、解答题：本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（8分）解方程组：18（8分）化简，求值：（m1），其中m19（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC边上一点，只用一把无刻度的直

5、尺在AD边上作点F，使得DFBE（1）作出满足题意的点F，简要说明你的作图过程；（2）依据你的作图，证明：DFBE20（8分）某商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，求每次平均降价的百分率是多少？21（8分）如图，在矩形ABCD中，AB6，AD12，点E在AD边上，且AE8，EFBE交CD于F（1）求证：ABEDEF；（2）求EF的长22（10分）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象已知妈妈驾车的速度是小

6、明骑车速度的3倍（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程23（10分）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工的日工资方案如下：甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日揽件数超过40，超过部分每件多提成2元如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形统计图：（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含

7、40）的可能性；（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公各揽件员的揽件数，解决以下问题：估计甲公司各揽件员的日平均件数；小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学统计知识帮他选择，井说明理由24（12分）已知抛物线yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的对称轴为直线x1（1）b ；（用含a的代数式表示）（2）当a1时，若关于x的方程ax2+bx+c0在4x1的范围内有解，求c的取值范围；（3）若抛物线过点（1，1），当0x1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值25（14分）若一个三角形一条边的平方

8、等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形（1）已知ABC是比例三角形，AB3，BC4，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，ADBC，对角线BD平分ABC，BACADC求证：ABC是比例三角形；（3）如图2，在（2）的条件下，当ADC90时，求出的值2019-2020学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m，用科学记数法表示这个数是（）A9.4107mB9.4107

9、mC9.4108mD9.4108m【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【解答】解：0.000 000 949.4107故选：A【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定2小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）ABCD【分析】由三角形的三

10、边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上【解答】解：42+9297122，三角形为钝角三角形，最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上故选：C【点评】本题考查了三角形高的画法当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部3正八边形的每个内角的度数是（）A144B140C135D120【分析】根据n边形的外角和为360得到正八边形的每个外角的度数45，然后利用补角的

11、定义即可得到正八边形的每个内角18045135【解答】解：正八边形的外角和为360，正八边形的每个外角的度数45，正八边形的每个内角18045135故选：C【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n2）180；n边形的外角和为3604下列计算正确的是（）Ax2xx3Bx+xx2C（x2）3x5Dx6x3x2【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则计算即可【解答】解：A、正确；B、x+x2x，选项错误；C、（x2）3x6，选项错误；D、x6x3x3，选项错误故选：A【点评】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法等多个运算性质

12、，需同学们熟练掌握5如图所示：ABC中，DEBC，AD5，BD10，AE3则CE的值为（）A9B6C3D4【分析】由DEBC，用平行线分线段成比例定理即可得到，又由AD5，BD10，AE3，代入即可求得答案【解答】解：DEBC，AD5，BD10，AE3，CE6故选：B【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理解题的关键是数形结合思想的应用6方程（x+1）（x2）x+1的解是（）A2B3C1，2D1，3【分析】先移项得到（x+1）（x2）（x+1）0，然后利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可【解答】解：（x+1）（x2）（x+1）0，（x+1）（x21）0，即（x+1）（x3）

13、0，x+10，或x30，x11，x23故选：D【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程7若点A（2，a），B（1，b），C（3，c）都在二次函数ymx2（m0）图象上，则a、b、c的大小关系是（）AcabBbacCabcDcba【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离对称轴的远近得到a、b、c的大小关系【解答】解：二次函数ymx2（m0）抛物线的对称轴为y轴，A（2，a）、B（1，b）、C（3，c）点C离y轴最远，点B离y轴最近，而抛物线开口向上，bac；故选：B【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐

14、标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式8如图，一次函数y1x+b与一次函数y2kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+bkx+4的解集是（）Ax2Bx0Cx1Dx1【分析】观察函数图象得到当x1时，函数yx+b的图象都在ykx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+bkx+4的解集为x1【解答】解：当x1时，x+bkx+4，即不等式x+bkx+4的解集为x1故选：C【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数yax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线ykx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成

15、的集合9如图，在ABCD中，AB6，AD9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G，BG，则CEF的周长为（）A8B9.5C10D11.5【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查在ABCD中，ABCD6，ADBC9，BAD的平分线交BC于点E，可得ADF是等腰三角形，ADDF9；ABE是等腰三角形，ABBE6，所以CF3；在ABG中，BGAE，AB6，BG，可得AG2，又ADF是等腰三角形，BGAE，所以AE2AG4，所以ABE的周长等于16，又由ABCD可得CEFBEA，相

16、似比为1：2，所以CEF的周长为8，因此选A【解答】解：在ABCD中，ABCD6，ADBC9，BAD的平分线交BC于点E，ABDC，BAFDAF，BAFF，DAFF，ADFD，ADF是等腰三角形，同理ABE是等腰三角形，ADDF9；ABBE6，CF3；在ABG中，BGAE，AB6，BG，可得：AG2，又BGAE，AE2AG4，ABE的周长等于16，又ABCDCEFBEA，相似比为1：2，CEF的周长为8故选：A【点评】本题考查勾股定理、相似三角形的知识，相似三角形的周长比等于相似比10如果一条直线l经过不同的三点A（a，b），B（b，a），C（ab，ba），那么直线l经过（）A第二、四象限B第

17、一、二、三象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限【分析】设直线的解析式是ykx+c，把A（a，b），B（b，a），C（ab，ba）代入得到方程组，求出方程组的解，根据一次函数的性质求出即可【解答】解：设直线的解析式是ykx+c，把A（a，b），B（b，a），C（ab，ba）代入得：，解得：k1，c0，yx，图象经过第二、四象限，故选：A【点评】本题主要考查对解三元一次方程组，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分11因式分解：x32x2y+xy2x（xy）2【分析】原式提取公因式，再

18、利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式x（x22xy+y2）x（xy）2，故答案为：x（xy）2【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键12某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若千名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类）并将调查的结果绘制成如右的两幅不完整的统计图，由图可得喜欢足球的人数有90人【分析】根据统计图中的数据可以求而本次调查的人数，从而可以计算出喜欢足球的人数，本题得以解决【解答】解：本次调查的人数为：6020%300，喜欢足球的有：300120603090（人），故答案为：90【点评】本题考查条形

19、统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答13在等腰三角形ABC中，ABC90，D为AC边上中点，过D点作DEDF，交AB于E，交BC于F，若AE4，FC3，则EF的长是5【分析】连接BD，根据的等腰直角三角形的性质由ASA证明BEDCFD，得出AEBF，BECF，由勾股定理即可得出结果【解答】解：连接BD，如图所示：D是AC中点，ABC是等腰三角形，ABC90，ABDCBDC45，BDADCD，BDAC，ABBCEDB+FDB90，FDB+CDF90，EDBCDF，在BED和CFD中，BEDCFD（ASA），BEFC3，AEBF4，在RTBEF中，EF5，故答案为：

20、5【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质、连接BD是解题的关键14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车每天40个车次中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98【分析】利用加权平均数的公式直接计算即可【解答】解：在经停某站的高铁列车每天40个车次中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为（100

21、.97+200.98+100.99）0.98，故答案为：0.98【点评】考查了用样本估计总体及加权平均数的知识，解题的关键是了解加权平均数的计算公式，难道不大15计算：2018【分析】根据完全平方公式化简二次根式，再约分计算，进一步化简即可求解【解答】解：（20171）（1）20172018故答案为：2018【点评】考查了实数的运算，关键是根据完全平方公式化简二次根式，注意能约分的要约分简化计算16如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE过点A作AE的垂线交ED于点P若AEAP2，PB2则正方形ABCD的面积是16+4【分析】首先利用已知条件根据边角边可以证明APDAEB，可得A

22、DPABE，DOABOE，可证BEDE，过B作BFAE，交AE的延长线于F，如图1，由勾股定理可求EF的长，即可求解【解答】解：四边形ABCD是正方形，ADAB，BAD90，PAE90，BAEDAP，在APD与AEB中，APDAEB（SAS），ADPABE，DOABOE，ADP+DOA90，ABE+BOE90，DEB90，EBDE；AEPAPE45，APDAEB135，BEP90，过B作BFAE，交AE的延长线于F，如图1：在AEP中，AEAP2，根据勾股定理得PE2，在BEP中，PB2，PE2，根据勾股定理得：BE2，BEF180459045，EBF45，BFAF，EFBFEFBF，AF2+

23、，正方形ABCD的面积AB2AF2+BF216+4故答案为：16+4【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定，全等三角形的性质与判定及勾股定理，点到直线的距离，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键三、解答题：本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（8分）解方程组：【分析】利用加减消元法求出方程组的解即可【解答】解：，2得：3y3，即y1，将y1代入得：x+24，即x2，则方程组的解为【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法18（8分）化简，求值：（m1），其中m【分析】首先计算括

24、号内的，然后把除法变为乘法进行约分计算，最后代值计算【解答】解：（m1），当m时，原式【点评】考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算19（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC边上一点，只用一把无刻度的直尺在AD边上作点F，使得DFBE（1）作出满足题意的点F，简要说明你的作图过程；（2）依据你的作图，证明：DFBE【分析】（1）连接AC，BD于O，连接EO并延长交AD于F，即可得到结果；（2）根据平行四边形的性质得到ADBC，即DFBE，由平行四边形的判定定理和性质即可得到结论【解答】解：（1）如图，连接AC，BD于

25、O，连接EO并延长交AD于F，则点F即为所求；（2）连接BF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，即DFBE，四边形ABCD是平行四边形，OBODFDOEBO，DFOBEO，DOFBOEEBFD，四边形BEDF是平行四边形，DFBE【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键20（8分）某商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，求每次平均降价的百分率是多少？【分析】设每次平均降价的百分率是x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论【解答】解：设每次平均降价的百分率是x，依题意，得：

26、400（1x）2225，解得：x10.2525%，x21.75（舍去）答：每次平均降价的百分率是25%【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键21（8分）如图，在矩形ABCD中，AB6，AD12，点E在AD边上，且AE8，EFBE交CD于F（1）求证：ABEDEF；（2）求EF的长【分析】（1）根据；两角对应相等的两个三角形相似即可证明；（2）利用勾股定理求出BE，利用相似三角形的性质求出DF，再利用勾股定理求出EF即可；【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，DA90，EFBE，FEB90，DEF+AEB90，DEF+DFE90，DFEAEB，A

27、BEDEF（2）在RtAEB中，BE10，AD12，AE8，DE4，ABEDEF，DF，在RtDEF中，EF【点评】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型22（10分）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈

28、追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程【分析】（1）用路程除以时间即可得到速度；在甲地游玩的时间是10.50.5小时（2）求得线段BC所在直线的解析式和DE所在直线的解析式后求得交点坐标即可求得被妈妈追上的时间（3）设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n（km），根据妈妈比小明早到10分钟列出有关n的方程，求得n值即可【解答】解：（1）小明骑车速度：在甲地游玩的时间是10.50.5（h）（2）妈妈驾车速度：20360（km/h）设直线BC解析式为y20x+b1，把点B（1，10）代入得b110y20x10 设直线DE解析式为y60x+b2，把点D（，0）代

29、入得b280y60x80解得交点F（1.75，25）答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km（3）方法一：设从家到乙地的路程为m（km）则点E（x1，m），点C（x2，m）分别代入y60x80，y20x10得：，m30方法二：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n（km），由题意得：n5从家到乙地的路程为5+2530（km）方法三：设从家到乙地的路程为n（km），由题意得：（n/20+0.5）（n/60+4/3）10/60n30从家到乙地的路程为30（km）【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据实际问题并结合函数的图象得到进一步解题的有关信息，并从实际问题

30、中整理出一次函数模型23（10分）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工的日工资方案如下：甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日揽件数超过40，超过部分每件多提成2元如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形统计图：（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的可能性；（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公各揽件员的揽件数，解决以下问题：估计甲公司各揽件员

31、的日平均件数；小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学统计知识帮他选择，井说明理由【分析】（1）根据统计图中的数据可以计算出现从今年四月份的30天中随机抽取1天求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的可能性；（2）根据统计图中的数据可以计算出甲公司各揽件员的日平均件数；根据统计图中的数据可以计算出两家公司的日均收入，从而可以得到小明到哪家公司收入比较高【解答】解：（1）由图可得，从今年四月份的30天中随机抽取1天求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的可能性，即从今年四月份的30天中随机抽取1天求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过4

32、0（不含40）的可能性是；（2）由图可得，39（件），答：甲公司各揽件员的日平均揽件约为39件；小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，小明去乙家公司应聘揽件员收入比较高，理由：在甲公司日均收入为：70+392148（元），乙公司日均揽件数为：39，日均工资为：439156（元），148156，小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，小明去乙家公司应聘揽件员收入比较高【点评】本题考查条形统计图、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答24（12分）已知抛物线yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的对称轴为直线

33、x1（1）b2a；（用含a的代数式表示）（2）当a1时，若关于x的方程ax2+bx+c0在4x1的范围内有解，求c的取值范围；（3）若抛物线过点（1，1），当0x1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值【分析】（1）x1，即可求解；（2）该方程在在4x1的范围内有解，则4+4c0，即可求解；（3）抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，即该点坐标为（1，4）或（1，4），即可求解【解答】解：（1）x1，故b2a，故答案为：2a；（2）当a1时，函数表达式为：yx22x+c，方程为：x2+2xc0，该方程在在4x1的范围内有解，则4+4c0，即c1；同时要满足：当x4时，y0或x1时，y0

34、，即16+8+c0或12+c0，故c8或c3，故c8，故1c8；（3）抛物线过点（1，1），该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：ya（x+1）21，当0x1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，而顶点到x轴的距离为1，则x1时，该点的y坐标为4或4，即该点坐标为（1，4）或（1，4），将点（1，4）或（1，4），代入函数表达式得：4a（1+1）21或4a（1+1）21，解得：a或【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等25（14分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形

35、叫做比例三角形（1）已知ABC是比例三角形，AB3，BC4，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，ADBC，对角线BD平分ABC，BACADC求证：ABC是比例三角形；（3）如图2，在（2）的条件下，当ADC90时，求出的值【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2BCAC、BC2ABAC、AC2ABBC三种情况分别代入计算可得；（2）先证ABCDCA得CA2BCAD，再由ADBCBDABD知ABAD即可得；（3）作AHBD，由ABAD知BHBD，再证ABHDBC得ABBCBHDB，即ABBCBD2，结合ABBCAC2知BD2AC2，据此可得答案；【解答】解：（1）设ACm由题意m234或324m或423m，m2或或（负根已经舍弃）（2）ADBC，ACBDAC，BACADC，ADCCAB，ADBCAC2，ADBC，CBDADB，BD平分ABC，ABDADB，ABAD，ABBCAC2，ABC是比例三角形（3）如图2中，作AHBD可证ABHDBC，ABBCBHBD，ABAD，AHBD于H，BHDHBD，BD2BH，ABBCBD2，ABBCAC2，AC2BD2，AC0，BD0，【点评】本题属于相似三角形的综合问题，考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解比例三角形的定义，正确寻找相似三角形解决问题，